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本文導(dǎo)航

• 矩陣初等因子與不變因子求法
• 求矩陣的初等因子，跪求詳細(xì)過程
• 求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J及可逆矩陣P。想問問初等因子是怎么得出的，書上說不難得出，??，在線等。
• λ矩陣的初等因子除了從不變因子推出，還有別的方法嗎？下圖的題可以幫忙詳細(xì)的求出初等因子嗎？
• 矩陣初等因子與不變因子求法有沒有直觀一點(diǎn)的步驟說

矩陣初等因子與不變因子求法

對于一個給定的矩陣多項(xiàng)式P(x)

先化到Smith對角型diag{d_1(x),d_2(x),...,d_r(x),0,...,0}，其中每個d_i都整除d_{i+1}

那么d_1(x),...,d_r(x)就是不變因子

對這些不變因子（在某個給定的域上）做因式分解得到的形如p(x)^k的因子就是初等因子

比如

d_r=p_1(x)^{e_r1}...p_m(x)^{e_rm}

...

d_1=p_1(x)^{e_11}...p_m(x)^{e_1m}

其中p_i(x)是兩兩不同的不可約多項(xiàng)式，每個e_ij都非負(fù)

這樣所有e_ij>0對應(yīng)的因子p_i(x)^{e_ij}就是初等因子

教材要認(rèn)真看，慢慢看，一般來講都有例子的，把具體的例子和“抽象的”定義對比著看

實(shí)在看不懂換一本教材，多找?guī)讉€例子，再看不懂就該怪自己了

求矩陣的初等因子，跪求詳細(xì)過程

【知識點(diǎn)】

若矩陣A的特征值為λ1，λ2，，λn，那么|A|=λ1·λ2··λn

【解答】

|A|=1×2××n= n！

設(shè)A的特征值為λ，對于的特征向量為α。

則 Aα = λα

那么 (A2-A)α = A2α - Aα = λ2α - λα = (λ2-λ)α

所以A2-A的特征值為 λ2-λ，對應(yīng)的特征向量為α

A2-A的特征值為 0 ，2，6，，n2-n

求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J及可逆矩陣P。想問問初等因子是怎么得出的，書上說不難得出，??，在線等。

先把特征多項(xiàng)式化成標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型主對角線上的非零元素就是不變因子。

下面利用不變因子求初等因子

寫成標(biāo)準(zhǔn)分解式

列出各分解式中各個1次因子（最高次）冪，得到初等因子

λ矩陣的初等因子除了從不變因子推出，還有別的方法嗎？下圖的題可以幫忙詳細(xì)的求出初等因子嗎？

就利用不變因子求初等因子吧：

寫成標(biāo)準(zhǔn)分解式

列出各分解式中各個1次因子（最高次）冪，得到初等因子

矩陣初等因子與不變因子求法有沒有直觀一點(diǎn)的步驟說

1、對于一個給定的矩陣多項(xiàng)式P(x)先化到Smith對角型diag{d_1(x),d_2(x),...,d_r(x),0,...,0}，其中每個d_i都整除d_{i+1}。

2、那么d_1(x),...,d_r(x)就是不變因子。

3、對這些不變因子（在某個給定的域上）做因式分解得到的形如p(x)^k的因子就是初等因子。

比如：d_r=p_1(x)^{e_r1}...p_m(x)^{e_rm}；

...

d_1=p_1(x)^{e_11}...p_m(x)^{e_1m}。

其中p_i(x)是兩兩不同的不可約多項(xiàng)式，每個e_ij都非負(fù)這樣所有e_ij>0對應(yīng)的因子p_i(x)^{e_ij}就是初等因子。

擴(kuò)展資料：

不變因子和初等因子的關(guān)系：

首先，假設(shè)n級矩陣A的不變因子;：

將上式分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：

則其中對應(yīng)于

的那些方冪

就是A的全部初等因子。我們注意不變因子有一個除盡一個的性質(zhì)，即

從而屬于同一個一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即

如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是惟一確定的。上面的分析給了我們一個如何從初等因子和矩陣的級數(shù)惟一地作出不變因子的方法。設(shè)一個n級矩陣的全部初等因子為已知，而且當(dāng)這些初等因子的個數(shù)不足n時，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個數(shù)的1，使得湊成個。設(shè)所得排列為：

這也說明了這樣一個事實(shí)：如果兩個同級的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似。反之，如果兩個矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子。

參考資料來源：百度百科-初等因子