矩陣等價(jià)什么意思 什么算是等價(jià)矩陣

什么是矩陣等價(jià)有這個(gè)定義么？矩陣等價(jià)是什么意思？矩陣的等價(jià)有什么意義？我只知道函數(shù)極限的等價(jià)有用？離散數(shù)學(xué)中矩陣的行等價(jià)是什么意思？什么叫矩陣等價(jià)？什么是矩陣等價(jià)？

本文導(dǎo)航

• 矩陣相似是不是一定等價(jià)
• 什么算是等價(jià)矩陣
• 兩個(gè)矩陣等價(jià)的充分必要條件
• 離散數(shù)學(xué)中所有概念
• 矩陣等價(jià)的公式
• 矩陣等價(jià)怎么判斷

矩陣相似是不是一定等價(jià)

矩陣的相似：

設(shè)A,B為n階矩陣,如果有n階可逆矩陣P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.

矩陣合同:

兩個(gè)矩陣和是合同的,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)可逆矩陣 ,使得A=P^T*B*P.

矩陣的等價(jià)：

存在可逆矩陣P、Q,使P*A*Q=B,則A與B等價(jià),充要條件就是R(A)=R(B)

什么算是等價(jià)矩陣

矩陣等價(jià)：

在線性代數(shù)和矩陣論中，有兩個(gè)m×n階矩陣A和B，如果這兩個(gè)矩陣滿足B=Q-1AP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說(shuō)，存在可逆矩陣，A經(jīng)過(guò)有限次的初等變換得到B。

性質(zhì)

1.矩陣A和A等價(jià)(反身性）；

2.矩陣A和B等價(jià)，那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性）；

3.矩陣A和B等價(jià)，矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)（傳遞性）；

4.矩陣A和B等價(jià)，那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

5.具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組有相同的解

6.對(duì)于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣，它們的等價(jià)性也可以通過(guò)以下條件來(lái)表征：

（1）矩陣可以通過(guò)基本行和列操作的而彼此變換。

（2）當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí)，兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。

擴(kuò)展資料:

證明

a1,a2,....an,線性無(wú)關(guān)，而a1,a2,....an,b,r線性相關(guān)，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,則x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,說(shuō)明a1,a2,...an,b線性相關(guān)，同理x=0,可得a1,a2,....an,r線性相關(guān)。

若x,y都不為零，兩邊除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,這表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可證明r可以用a1,a2,....an,b表示。這就說(shuō)明a1,a2,....an,b與a1,a2,....an,r等價(jià).綜合可得命題得證。

當(dāng)A和B為同型矩陣，且r（A）=r（B）時(shí)，A，B一定等價(jià)。

參考資料:百度百科-----等價(jià)矩陣

兩個(gè)矩陣等價(jià)的充分必要條件

舉個(gè)例子，解析幾何中為了求線段AB的長(zhǎng)度，要先建立坐標(biāo)系，在這個(gè)坐標(biāo)系下寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)公式求出AB長(zhǎng)度。注意這里的坐標(biāo)系是可以任意選取的，選擇的坐標(biāo)系不同，A.B兩點(diǎn)的坐標(biāo)就不同，但AB的長(zhǎng)度是不會(huì)變化的，也就是說(shuō)長(zhǎng)度是坐標(biāo)變換下的不變量。回到矩陣和線性方程組的問(wèn)題，考慮最簡(jiǎn)單的一元方程x+1=0和2x+2=0，它們的解相同，但方程的形式不一樣，像這樣改變線性方程組的形式但不改變解的性質(zhì)（有無(wú)解，解是否唯一等），翻譯成矩陣語(yǔ)言就是，對(duì)矩陣做初等變換后矩陣的秩不變，我們稱這樣兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。像這種“在變化中找不變”的例子還有很多，例如線性變換中矩陣的跡是不變量等，而我們往往對(duì)這些不變量最感興趣。有了矩陣等價(jià)的概念，我們解線性方程組時(shí)就不用再對(duì)每個(gè)方程進(jìn)行變化了，而直接研究其系數(shù)構(gòu)成的矩陣，對(duì)其進(jìn)行初等變換，就可以了解方程組的解的情況，并求出方程組的解。矩陣等價(jià)用矩陣乘法表示出來(lái)就是，矩陣A,B等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣P和Q使得B=PAQ。注意線性代數(shù)中關(guān)于兩個(gè)矩陣之間的很多關(guān)系其實(shí)都是等價(jià)關(guān)系，例如A,B合同要求存在可逆矩陣C，使得B=(C^T)AC，A,B相似要求存在可逆矩陣P，使得B=P^(-1)AP，注意這些情況里A和B都滿足等價(jià)的定義。也就是說(shuō)矩陣合同和矩陣相似都是矩陣等價(jià)中的特例。

離散數(shù)學(xué)中所有概念

矩陣的等價(jià)是指一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)若干次初等變換變到另一個(gè)矩陣，那么這兩個(gè)矩陣稱為是等價(jià)的。

如果一個(gè)矩陣只通過(guò)行初等變換（不進(jìn)行任何列變換）變到另一個(gè)矩陣，則這兩個(gè)矩陣就是行等價(jià)的。

矩陣等價(jià)的公式

矩陣的等價(jià)：經(jīng)過(guò)六個(gè)初等變換的矩陣之間具有等價(jià)關(guān)系，主要是指型和秩相同。

相似的兩個(gè)矩陣一定是等價(jià)的矩陣。

等價(jià)矩陣未必相似。

按定義，如果存在可逆陣P、Q，使P*A*Q=B，則稱A與B等價(jià)。

矩陣相似的定義是：存在可逆陣P，使P^<-1>*A*P=B，則稱A與B相似，

因?yàn)镻^<-1>與P都是可逆陣，由矩陣等價(jià)的定義知，A與B是等價(jià)的。

矩陣等價(jià)怎么判斷

矩陣等價(jià)：

在線性代數(shù)和矩陣論中，有兩個(gè)m×n階矩陣A和B，如果這兩個(gè)矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說(shuō)，存在可逆矩陣（P、Q)，使得A經(jīng)過(guò)有限次的初等變換得到B。

擴(kuò)展資料：

矩陣等價(jià)性質(zhì)

矩陣A和A等價(jià)(反身性）；

矩陣A和B等價(jià)，那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性）；

矩陣A和B等價(jià)，矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)（傳遞性）；

矩陣A和B等價(jià)，那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組有相同的解對(duì)于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣，它們的等價(jià)性也可以通過(guò)以下條件來(lái)表征：

（1）矩陣可以通過(guò)基本行和列操作的而彼此變換。

（2）當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí)，兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。