什么矩陣的特征向量正交 特征向量相互正交則滿足什么公式
如何判斷特征向量是否正交？實對稱矩陣相同特征值的特征向量相互正交嗎？實對稱矩陣相同特征值對應(yīng)的特征向量正交嗎？
本文導(dǎo)航
特征向量相互正交則滿足什么公式
將兩向量做內(nèi)積，得出結(jié)果為0則兩特征向量正交。
例子：
設(shè)向量m=(x1,x2,x3),n=(y1,y2,y3)那么m*n=x1y1+x2y2+x3y3如果m*n=0,那么稱m和n正交。
特征向量性質(zhì)：
線性變換的特征向量是指在變換下方向不變，或者簡單地乘以一個縮放因子的非零向量。
特征向量對應(yīng)的特征值是它所乘的那個縮放因子。
特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
線性變換的主特征向量是最大特征值對應(yīng)的特征向量。
特征值的幾何重次是相應(yīng)特征空間的維數(shù)。
有限維向量空間上的一個線性變換的譜是其所有特征值的集合。
二階實對稱矩陣快速求特征值
實對稱矩陣相同特征值的特征向量不一定相互正交。例如：n×n階單位矩陣E是實對稱矩陣，且任何n維向量都是E的特征向量，但不能說任何兩個n維向量都是正交的，屬于單位陣E的某個特征值的特征向量有的相互正交，也有的不相互正交。
實對稱矩陣的主要性質(zhì)：
1、實對稱矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的。
2、實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù)，特征向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣A必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。
4、若λ具有k重特征值 必有k個線性無關(guān)的特征向量，或者說必有秩r(λE-A)=n-k，其中E為單位矩陣。
擴(kuò)展資料：
正交矩陣的相關(guān)性質(zhì)
1、方陣A正交的充要條件是A的行（列）向量組是單位正交向量組；
2、方陣A正交的充要條件是A的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；
3、A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4、A的列向量組也是正交單位向量組；
5、正交方陣是歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣。
參考資料來源：百度百科-實對稱矩陣
實對稱矩陣的特征值怎么計算
實對稱矩陣不同特征值的特征向量一定是正交的。實對稱矩陣同一特征值的不同特征向量線性無關(guān)。結(jié)論很明顯，書上解釋得也很清楚，我猜題主問這個問題是對于下面這個問題的疑惑。這里說的是存在，并沒有說對于實對稱矩陣A的特征值分解，得到的U一定是正交矩陣。而是可以采用一些正交化方法使得U成為正交矩陣，就是說即使U不是正交矩陣，但U的各列向量線性無關(guān)。
矩陣：
在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計算機(jī)科學(xué)中，三維動畫制作也需要用到矩陣。
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