什么矩陣的特征向量正交 特征向量相互正交則滿足什么公式

素錦流年2022-08-12 18:07:501758

如何判斷特征向量是否正交?實對稱矩陣相同特征值的特征向量相互正交嗎?實對稱矩陣相同特征值對應(yīng)的特征向量正交嗎?

本文導(dǎo)航

特征向量相互正交則滿足什么公式

將兩向量做內(nèi)積,得出結(jié)果為0則兩特征向量正交。

  • 例子:

    設(shè)向量m=(x1,x2,x3),n=(y1,y2,y3)那么m*n=x1y1+x2y2+x3y3如果m*n=0,那么稱m和n正交。

  • 特征向量性質(zhì):

  • 線性變換的特征向量是指在變換下方向不變,或者簡單地乘以一個縮放因子的非零向量。

  • 特征向量對應(yīng)的特征值是它所乘的那個縮放因子。

  • 特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間,還包括零向量,但要注意零向量本身不是特征向量。

  • 線性變換的主特征向量是最大特征值對應(yīng)的特征向量。

  • 特征值的幾何重次是相應(yīng)特征空間的維數(shù)。

  • 有限維向量空間上的一個線性變換的譜是其所有特征值的集合。

  • 二階實對稱矩陣快速求特征值

    實對稱矩陣相同特征值的特征向量不一定相互正交。例如:n×n階單位矩陣E是實對稱矩陣,且任何n維向量都是E的特征向量,但不能說任何兩個n維向量都是正交的,屬于單位陣E的某個特征值的特征向量有的相互正交,也有的不相互正交。

    實對稱矩陣的主要性質(zhì):

    1、實對稱矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的。

    2、實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù),特征向量都是實向量。

    3、n階實對稱矩陣A必可對角化,且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

    4、若λ具有k重特征值 必有k個線性無關(guān)的特征向量,或者說必有秩r(λE-A)=n-k,其中E為單位矩陣。

    擴(kuò)展資料:

    正交矩陣的相關(guān)性質(zhì)

    1、方陣A正交的充要條件是A的行(列)向量組是單位正交向量組;

    2、方陣A正交的充要條件是A的n個行(列)向量是n維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基;

    3、A是正交矩陣的充要條件是:A的行向量組兩兩正交且都是單位向量;

    4、A的列向量組也是正交單位向量組;

    5、正交方陣是歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣。

    參考資料來源:百度百科-實對稱矩陣

    實對稱矩陣的特征值怎么計算

    實對稱矩陣不同特征值的特征向量一定是正交的。實對稱矩陣同一特征值的不同特征向量線性無關(guān)。結(jié)論很明顯,書上解釋得也很清楚,我猜題主問這個問題是對于下面這個問題的疑惑。這里說的是存在,并沒有說對于實對稱矩陣A的特征值分解,得到的U一定是正交矩陣。而是可以采用一些正交化方法使得U成為正交矩陣,就是說即使U不是正交矩陣,但U的各列向量線性無關(guān)。

    矩陣:

    在數(shù)學(xué)中,矩陣(Matrix)是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合,最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具,也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中,矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用;計算機(jī)科學(xué)中,三維動畫制作也需要用到矩陣。

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    標(biāo)簽: 矩陣

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