線代降階法前面乘什么意思 線性代數(shù)行列式的計(jì)算方法

線性代數(shù)中矩陣的乘法代表什么意義？線性代數(shù)問(wèn)題！用降階法計(jì)算行列式。怎么知道要消哪一行哪一列？線性代數(shù)行列式中什么是降階法 概念問(wèn)題？行列式降階 線性代數(shù)行列式中什么是降階法？線代。為什么要乘以1/2？線性代數(shù)行列式中什么是降階法？

本文導(dǎo)航

• 線性代數(shù)中的矩陣總結(jié)
• 線性代數(shù)行列式的計(jì)算方法
• 線性代數(shù)先學(xué)行列式還是矩陣
• 行列式的八種基本題型降階
• 線代中向量的寫法
• 線性代數(shù)中怎么區(qū)分上三角行列式

線性代數(shù)中的矩陣總結(jié)

看樣子你是個(gè)學(xué)生,我是大學(xué)線代講師.

矩陣乘法是線性代數(shù)中最常見(jiàn)的運(yùn)算之一，它在數(shù)值計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。若A和B是2個(gè)n×n的矩陣，則它們的乘積C=AB同樣是一個(gè)n×n的矩陣。A和B的乘積矩陣C中的元素C[i,j]定義為:

若依此定義來(lái)計(jì)算A和B的乘積矩陣C，則每計(jì)算C的一個(gè)元素C[i,j]，需要做n個(gè)乘法和n-1次加法。因此，求出矩陣C的n2個(gè)元素所需的計(jì)算時(shí)間為0(n3)。

60年代末，Strassen采用了類似于在大整數(shù)乘法中用過(guò)的分治技術(shù)，將計(jì)算2個(gè)n階矩陣乘積所需的計(jì)算時(shí)間改進(jìn)到O(nlog7)=O(n2.18)。

首先，我們還是需要假設(shè)n是2的冪。將矩陣A，B和C中每一矩陣都分塊成為4個(gè)大小相等的子矩陣，每個(gè)子矩陣都是n/2×n/2的方陣。由此可將方程C=AB重寫為:

(1)

由此可得:

C11=A11B11+A12B21 (2)

C12=A11B12+A12B22 (3)

C21=A21B11+A22B21 (4)

C22=A21B12+A22B22 (5)

如果n=2，則2個(gè)2階方陣的乘積可以直接用(2)-(3)式計(jì)算出來(lái)，共需8次乘法和4次加法。當(dāng)子矩陣的階大于2時(shí)，為求2個(gè)子矩陣的積，可以繼續(xù)將子矩陣分塊，直到子矩陣的階降為2。這樣，就產(chǎn)生了一個(gè)分治降階的遞歸算法。依此算法，計(jì)算2個(gè)n階方陣的乘積轉(zhuǎn)化為計(jì)算8個(gè)n/2階方陣的乘積和4個(gè)n/2階方陣的加法。2個(gè)n/2×n/2矩陣的加法顯然可以在c*n2/4時(shí)間內(nèi)完成，這里c是一個(gè)常數(shù)。因此，上述分治法的計(jì)算時(shí)間耗費(fèi)T(n)應(yīng)該滿足：

這個(gè)遞歸方程的解仍然是T(n)=O(n3)。因此，該方法并不比用原始定義直接計(jì)算更有效。究其原因，乃是由于式(2)-(5)并沒(méi)有減少矩陣的乘法次數(shù)。而矩陣乘法耗費(fèi)的時(shí)間要比矩陣加減法耗費(fèi)的時(shí)間多得多。要想改進(jìn)矩陣乘法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性，必須減少子矩陣乘法運(yùn)算的次數(shù)。按照上述分治法的思想可以看出，要想減少乘法運(yùn)算次數(shù)，關(guān)鍵在于計(jì)算2個(gè)2階方陣的乘積時(shí)，能否用少于8次的乘法運(yùn)算。Strassen提出了一種新的算法來(lái)計(jì)算2個(gè)2階方陣的乘積。他的算法只用了7次乘法運(yùn)算，但增加了加、減法的運(yùn)算次數(shù)。這7次乘法是:

M1=A11(B12-B22)

M2=(A11+A12)B22

M3=(A21+A22)B11

M4=A22(B21-B11)

M5=(A11+A22)(B11+B22)

M6=(A12-A22)(B21+B22)

M7=(A11-A21)(B11+B12)

做了這7次乘法后，再做若干次加、減法就可以得到:

C11=M5+M4-M2+M6

C12=M1+M2

C21=M3+M4

C22=M5+M1-M3-M7

以上計(jì)算的正確性很容易驗(yàn)證。例如:

C22=M5+M1-M3-M7

=(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12-B22)-(A21+A22)B11-(A11-A21)(B11+B12)

=A11B11+A11B22+A22B11+A22B22+A11B12

-A11B22-A21B11-A22B11-A11B11-A11B12+A21B11+A21B12

=A21B12+A22B22

由(2)式便知其正確性。

至此，我們可以得到完整的Strassen算法如下：

procedure STRASSEN(n,A,B,C);begin if n=2 then MATRIX-MULTIPLY(A，B，C) else begin 將矩陣A和B依(1)式分塊; STRASSEN(n/2,A11,B12-B22,M1); STRASSEN(n/2,A11+A12,B22,M2); STRASSEN(n/2,A21+A22,B11,M3); STRASSEN(n/2,A22,B21-B11,M4); STRASSEN(n/2,A11+A22,B11+B22,M5); STRASSEN(n/2,A12-A22,B21+B22,M6); STRASSEN(n/2,A11-A21,B11+B12,M7);

;

end;

end;

其中MATRIX-MULTIPLY(A，B，C)是按通常的矩陣乘法計(jì)算C=AB的子算法。

Strassen矩陣乘積分治算法中，用了7次對(duì)于n/2階矩陣乘積的遞歸調(diào)用和18次n/2階矩陣的加減運(yùn)算。由此可知，該算法的所需的計(jì)算時(shí)間T(n)滿足如下的遞歸方程:

按照解遞歸方程的套用公式法，其解為T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)。由此可見(jiàn)，Strassen矩陣乘法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性比普通矩陣乘法有階的改進(jìn)。

有人曾列舉了計(jì)算2個(gè)2階矩陣乘法的36種不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一種計(jì)算2階方陣乘積的算法，使乘法的計(jì)算次數(shù)少于7次，按上述思路才有可能進(jìn)一步改進(jìn)矩陣乘積的計(jì)算時(shí)間的上界。但是Hopcroft和Kerr(197l)已經(jīng)證明，計(jì)算2個(gè)2×2矩陣的乘積，7次乘法是必要的。因此，要想進(jìn)一步改進(jìn)矩陣乘法的時(shí)間復(fù)雜性，就不能再寄希望于計(jì)算2×2矩陣的乘法次數(shù)的減少。或許應(yīng)當(dāng)研究3×3或5×5矩陣的更好算法。在Strassen之后又有許多算法改進(jìn)了矩陣乘法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性。目前最好的計(jì)算時(shí)間上界是O(n2.367)。而目前所知道的矩陣乘法的最好下界仍是它的平凡下界Ω(n2)。因此到目前為止還無(wú)法確切知道矩陣乘法的時(shí)間復(fù)雜性。關(guān)于這一研究課題還有許多工作可做。

線性代數(shù)行列式的計(jì)算方法

理論上是隨意的，實(shí)際上一般挑選計(jì)算最簡(jiǎn)單的

比如含有0、1最多那行的某個(gè)非零列，這樣就可以少計(jì)算很多與0相乘或者與1相乘的子行列式

線性代數(shù)先學(xué)行列式還是矩陣

降階法就是用展開(kāi)定理把行列式降階

行列式的八種基本題型降階

展開(kāi)是一種降階辦法，還有一些定理可以降階計(jì)算http://m.doc88.com/p-981996068528.html這個(gè)文檔有一些定理也可以用來(lái)降階計(jì)算

線代中向量的寫法

是為了構(gòu)造 AX＝0 的一個(gè)非零解。

A[η1 - 1/2 (η2＋η3)]

＝Aη1 - 1/2 (Aη2＋Aη3)

＝b - 1/2 (b＋b)

＝0。

線性代數(shù)中怎么區(qū)分上三角行列式

6.行列式計(jì)算三：降階法