什么是無界函數(shù) 常見的有界函數(shù)

什么叫有界函數(shù)和無界函數(shù)？什么是無界函數(shù)？函數(shù)無界是什么意思？怎樣證明函數(shù)無界？函數(shù)無界的定義是什么？無界函數(shù)的定義是什么？

本文導(dǎo)航

• 常見的有界函數(shù)
• 怎么判斷是否是無界函數(shù)
• 無界函數(shù)定義
• 函數(shù)無界的判斷
• 函數(shù)在定義域內(nèi)有界存在極限嗎
• 無界函數(shù)的極限都不存在嗎

常見的有界函數(shù)

有界函數(shù)是指有最值，無界函數(shù)則無最值。例如。y=x，是無界函數(shù)。而正弦函數(shù)則是有界函數(shù)。

怎么判斷是否是無界函數(shù)

無界函數(shù)的定義：對任意的M>=0且小于正無窮，存在x,使得|f(x)|>=M，則f(x)無界。典型的例如y=x。y=x^2等都是無界函數(shù)。 　　1.無界函數(shù)與無窮大量兩個概念之間有嚴格的區(qū)別： 　　無界函數(shù)的概念是指某個區(qū)間上的。若對于任意的正數(shù)，總存在某個點，使得|f(x)|>=m，則稱該函數(shù)是區(qū)間上的無界函數(shù)。 　　無窮大量是指在自變量的某個趨限過程(例)下因變量的變化趨勢.若對于任意正數(shù),總存在,對一切滿足的,總有,則稱函數(shù)是時的無窮大量。 　　無窮大量必是無界量，無界量未必是無窮大量。 　　舉例：有函數(shù)Y=X*sinX,則此函數(shù)為無界函數(shù)，但不為無窮函數(shù)。因為當(dāng)X趨于無窮時，函數(shù)值關(guān)于X軸上下擺動，總有某點Y=0，所以不為無窮。

無界函數(shù)定義

就是函數(shù)的上界或下界中，至少有一個不存在的意思。

無上界就表示函數(shù)值不會恒小于任何有限實數(shù)。

無下界就表示函數(shù)值不會恒大于任何有限實數(shù)。

上界和下界中，只要有一個沒有（兩個都沒有也可以），這個函數(shù)就是無界函數(shù)。

函數(shù)無界的判斷

反證法：假設(shè)A=a*sina是函數(shù)的上界，即對(0,+無窮)上所有實數(shù)，均有F(x)=xsinx<=A，此時sina必大于0。但當(dāng)x=a+2π時，有F(a+2π)=（a+2π）*sin（a+2π）=（a+2π）*sina 。

因為a+2π＞a，sina>0，所以F(a+2π）＝（a+2π），＊sina>a*sina=A，因此相矛盾了。所以函數(shù)f（x）為無界函數(shù)。

無界函數(shù)即不是有界函數(shù)的函數(shù)。也就是說，函數(shù)y=f(x)在定義域上只有上界（或只有下界）；或者既沒有上界又沒有下界，稱f(x)在定義域上無界，在定義域無界的函數(shù)稱為無界函數(shù);。

相關(guān)信息

1、有界性

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間X上有定義，如果存在M>0，對于一切屬于區(qū)間X上的x，恒有｜f（x）｜≤M，則稱f（x）在區(qū)間X上有界，否則稱f（x）在區(qū)間上無界。

2、單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間I包含于D。如果對于區(qū)間上任意兩點x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的；如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f（x1）＞f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的。

函數(shù)在定義域內(nèi)有界存在極限嗎

無界函數(shù)的定義：對任意的M>=0且小于正無窮，存在x,使得|f(x)|>=M，則f(x)無界。典型的例如y=x。y=x^2等都是無界函數(shù)。 　

1、無界函數(shù)與無窮大量兩個概念之間有嚴格的區(qū)別： 　　

無界函數(shù)的概念是指某個區(qū)間上的。若對于任意的正數(shù)，總存在某個點，使得|f(x)|>=m，則稱該函數(shù)是區(qū)間上的無界函數(shù)。 　　

無窮大量是指在自變量的某個趨限過程(例)下因變量的變化趨勢.若對于任意正數(shù),總存在,對一切滿足的,總有,則稱函數(shù)是時的無窮大量。 　　

無窮大量必是無界量，無界量未必是無窮大量。 　　

舉例：有函數(shù)Y=X*sinX,則此函數(shù)為無界函數(shù)，但不為無窮函數(shù)。因為當(dāng)X趨于無窮時，函數(shù)值關(guān)于X軸上下擺動，總有某點Y=0，所以不為無窮。

函數(shù)的值區(qū)別：

無窮大：函數(shù)的值無止境的大下去，無限度地大下去。但是，不可以正負無窮大之間波動。

有界： 函數(shù)的值在一個范圍。

無界： 函數(shù)的值不在任何范圍。

極限： 函數(shù)的值逐漸向某一個確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”A值就是界限。

無界函數(shù)的極限都不存在嗎

函數(shù)無界是指任意G>O，都有x,st,f(x)>G.說的是函數(shù)整體性質(zhì)。函數(shù)可以點點取值都有限，但是函數(shù)整體無界。

無窮大是在實直線上補充定義的一個抽象的數(shù)（（定義了正負無窮后成為擴充實直線），x=正無窮是指x比任意數(shù)都大。在擴充實直線上可以定義和無窮有關(guān)的運算。當(dāng)然函數(shù)可以取值為無窮。這時函數(shù)一定是無界的。

舉例說明

有界函數(shù)的圖形必介于兩條平行于x軸的直線y=-M和y=M之間（當(dāng)自變量為x時），籠統(tǒng)地說某個函數(shù)是有界函數(shù)或無界函數(shù)是不確切的，必須指明所考慮的區(qū)間。

無界函數(shù)即不是有界函數(shù)的函數(shù)。也就是說，函數(shù)y=f(x)在定義域上只有上界(或只有下界)；或者既沒有上界又沒有下界，稱f(x)在定義域上無界，在定義域無界的函數(shù)稱為無界函數(shù);。