矩陣特征值怎么理解 如何理解矩陣特征值
如何理解矩陣特征值?如何理解矩陣特征值?如何理解矩陣特征值?
本文導(dǎo)航
如何理解矩陣特征值
首先需要了解的是方陣A的特征值的求法:f(λ)=|λE-A|=0的根。
矩陣的特征值與其對(duì)應(yīng)的特征向量還有矩陣的不變因子都是屬于矩陣的一個(gè)不變量,是我們了解矩陣的一個(gè)重要結(jié)果。建議你查看一下高等代數(shù)λ—矩陣不變因子章節(jié)。
矩陣的特征值是對(duì)應(yīng)的Aξ=λξ(ξ為λ對(duì)應(yīng)下的特征向量),這有點(diǎn)類(lèi)似于函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)(使得g(x)=x的x稱(chēng)為其不動(dòng)點(diǎn))
如何理解矩陣特征值
1.定義:若矩陣A乘上某個(gè)非零向量α等于一個(gè)實(shí)數(shù)λ乘上該向量,即Aα=λα,則稱(chēng)λ為該矩陣的特征值,α為屬于特征值λ的一個(gè)特征向量。
2.求矩陣A的特征值及特征向量的步驟:
(1)寫(xiě)出行列式|λE-A|;
(2)|λE-A|求=0的全部根,它們就是A的全部特征值,其中E為單位矩陣;
(3)對(duì)于矩陣A的每一個(gè)特征值λ,求出齊次線(xiàn)性方程組(λE-A)X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則可以得到屬于特征值λ的特征向量。
3.特征值的作用和意義體現(xiàn)在用矩陣進(jìn)行列向量的高次變換也就是矩陣的高次方乘以列向量的計(jì)算中。數(shù)學(xué)中的很多變換可以用矩陣的乘法來(lái)表示,在這樣的變換中,一個(gè)列向量(點(diǎn))α變成另一個(gè)列向量(點(diǎn))β的過(guò)程可以看成是一個(gè)矩陣A乘以α得到β,即Aα=β,如果把同樣的變換連續(xù)的重復(fù)的做n次則需要用矩陣高次方來(lái)計(jì)算:A^n·α,如果沒(méi)有特征值和特征向量,此處就要計(jì)算矩陣A的n次方,這個(gè)運(yùn)算量隨著n的增加,變得越來(lái)越大,很不方便。而利用特征值和特征向量,可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的:設(shè)A特征值分別為λ1,λ2,------λk,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1,α2,------αk,且α可以分解為α=x1·α1+x2·α2+---+xk·αk,
則A^n·α=A^n·(x1·α1+x2·α2+---+xk·αk)
=A^n·x1·α1+A^n·x2·α2+---+A^n·xk·αk
=x1A^n·α1+x2A^n·α2+---+xkA^n·αk
=x1(λ1)^n·α1+x2(λ2)^n·α2+---+xk(λk)^n·αk.
這樣就將矩陣的n次方的運(yùn)算變成了特征值的n次方的運(yùn)算。
矩陣特征值的個(gè)數(shù)怎么求
如下:
設(shè) A 是n階方陣,如果存在數(shù)m和非零n維列向量;x,使得 Ax=mx 成立,則稱(chēng) m 是矩陣A的一個(gè)特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。
矩陣特征值性質(zhì):
性質(zhì)1:若λ是可逆陣A的一個(gè)特征根,x為對(duì)應(yīng)的特征向量,則1/λ 是A的逆的一個(gè)特征根,x仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。
性質(zhì)2:若 λ是方陣A的一個(gè)特征根,x為對(duì)應(yīng)的特征向量,則λ 的m次方是A的m次方的一個(gè)特征根,x仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。
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