矩陣特征值怎么理解 如何理解矩陣特征值

如何理解矩陣特征值？如何理解矩陣特征值？如何理解矩陣特征值？

本文導(dǎo)航

• 如何理解矩陣特征值
• 如何理解矩陣特征值
• 矩陣特征值的個(gè)數(shù)怎么求

如何理解矩陣特征值

首先需要了解的是方陣A的特征值的求法：f(λ)=|λE-A|=0的根。

矩陣的特征值與其對(duì)應(yīng)的特征向量還有矩陣的不變因子都是屬于矩陣的一個(gè)不變量，是我們了解矩陣的一個(gè)重要結(jié)果。建議你查看一下高等代數(shù)λ—矩陣不變因子章節(jié)。

矩陣的特征值是對(duì)應(yīng)的Aξ=λξ（ξ為λ對(duì)應(yīng)下的特征向量），這有點(diǎn)類(lèi)似于函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)（使得g（x）=x的x稱(chēng)為其不動(dòng)點(diǎn)）

如何理解矩陣特征值

1.定義：若矩陣A乘上某個(gè)非零向量α等于一個(gè)實(shí)數(shù)λ乘上該向量，即Aα=λα，則稱(chēng)λ為該矩陣的特征值，α為屬于特征值λ的一個(gè)特征向量。

2.求矩陣A的特征值及特征向量的步驟：

（1）寫(xiě)出行列式|λE-A|；

（2）|λE-A|求＝0的全部根，它們就是A的全部特征值，其中E為單位矩陣；

（3）對(duì)于矩陣A的每一個(gè)特征值λ，求出齊次線(xiàn)性方程組(λE-A)X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則可以得到屬于特征值λ的特征向量。

3.特征值的作用和意義體現(xiàn)在用矩陣進(jìn)行列向量的高次變換也就是矩陣的高次方乘以列向量的計(jì)算中。數(shù)學(xué)中的很多變換可以用矩陣的乘法來(lái)表示，在這樣的變換中，一個(gè)列向量（點(diǎn)）α變成另一個(gè)列向量（點(diǎn)）β的過(guò)程可以看成是一個(gè)矩陣A乘以α得到β，即Aα=β，如果把同樣的變換連續(xù)的重復(fù)的做n次則需要用矩陣高次方來(lái)計(jì)算：A^n·α，如果沒(méi)有特征值和特征向量，此處就要計(jì)算矩陣A的n次方，這個(gè)運(yùn)算量隨著n的增加，變得越來(lái)越大，很不方便。而利用特征值和特征向量，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的：設(shè)A特征值分別為λ1,λ2,------λk，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1,α2,------αk，且α可以分解為α=x1·α1+x2·α2+---+xk·αk，

則A^n·α=A^n·（x1·α1+x2·α2+---+xk·αk）

=A^n·x1·α1+A^n·x2·α2+---+A^n·xk·αk

=x1A^n·α1+x2A^n·α2+---+xkA^n·αk

=x1(λ1)^n·α1+x2(λ2)^n·α2+---+xk(λk)^n·αk.

這樣就將矩陣的n次方的運(yùn)算變成了特征值的n次方的運(yùn)算。

矩陣特征值的個(gè)數(shù)怎么求

如下：

設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量;x，使得 Ax=mx 成立，則稱(chēng) m 是矩陣A的一個(gè)特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

矩陣特征值性質(zhì)：

性質(zhì)1：若λ是可逆陣A的一個(gè)特征根，x為對(duì)應(yīng)的特征向量，則1/λ 是A的逆的一個(gè)特征根，x仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。

性質(zhì)2：若 λ是方陣A的一個(gè)特征根，x為對(duì)應(yīng)的特征向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個(gè)特征根，x仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。