矩陣秩的性質(zhì)有哪些 2階分塊矩陣的秩怎么計算

關(guān)于矩陣的秩的性質(zhì)，矩陣的秩的性質(zhì)，秩的性質(zhì)，矩陣秩的性質(zhì)，矩陣的秩表現(xiàn)了矩陣的什么特性？分塊矩陣秩的性質(zhì)。

本文導航

• 矩陣的秩與值的關(guān)系
• 矩陣的秩的運算方法
• 秩怎么求例題
• 矩陣的秩計算公式
• 矩陣的秩和它的行列式的關(guān)系
• 2階分塊矩陣的秩怎么計算

矩陣的秩與值的關(guān)系

最后要證明的是秩相等，也就是等號成立，但到目前（也就是你問的地方）為止還沒有完全證出來，只是證明了R(B)>=r，因此后面肯定還要證明R(B)<=r。經(jīng)過一次第一類或第二類初等變換后，矩陣B有一個r階子式不為0，因此按秩的定義，只能得到B的秩不會小于r，至于是否相等，還要看后面的證明。

矩陣的秩的運算方法

秩怎么求例題

我們假定 A是在域 F上的 m× n矩陣并描述了上述線性映射。只有零矩陣有秩 0 A的秩最大為 min(m,n) f是單射，當且僅當 A有秩 n（在這種情況下，我們稱 A有“滿列秩”）。f是滿射，當且僅當 A有秩 m（在這種情況下，我們稱 A有“滿行秩”）。在方塊矩陣A（就是 m= n) 的情況下，則 A是可逆的，當且僅當 A有秩 n（也就是 A有滿秩）。如果 B是任何 n× k矩陣，則 AB的秩最大為 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推廣到若干個矩陣的情況，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2），...秩（Am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性映射的定義，令A、B對應(yīng)的線性映射分別為 f和 g，則秩（AB)表示復合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。然而 Im g是整個空間的一部分，因此它在映射 f作用下的象也是整個空間在映射 f作用下的象的一部分。也就是說映射 Im f·g是Im f的一部分。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（A）。對于另一個不等式：秩（AB）≤秩（B），考慮 Im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1），f(e2），...，f(en））生成了空間 Im f·g，于是 Im f·g的維度小于等于Im g的維度。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干個矩陣的情況證明類似。作為 < 情況的一個例子，考慮積 兩個因子都有秩 1，而這個積有秩 0?？梢钥闯觯忍柍闪斍覂H當其中一個矩陣（比如說 A）對應(yīng)的線性映射不減少空間的維度，即是單射，這時 A是滿秩的。于是有以下性質(zhì)：如果 B是秩 n的 n× k矩陣，則 AB有同 A一樣的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩陣，則 CA有同 A一樣的秩。A的秩等于 r，當且僅當存在一個可逆 m× m矩陣 X和一個可逆的 n× n矩陣 Y使得 這里的 Ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構(gòu)造性地給出。矩陣的秩加上矩陣的零化度等于矩陣的縱列數(shù)（這就是秩-零化度定理）。

矩陣的秩計算公式

行滿秩矩陣就是行向量線性無關(guān)

列滿秩矩陣就是列向量線性無關(guān)

一個矩陣的行秩等于列秩,

所以如果是方陣,

行滿秩矩陣與列滿秩矩陣是等價的.

矩陣的秩和它的行列式的關(guān)系

　矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。

　　設(shè)A是一組向量，定義A的極大無關(guān)組中向量的個數(shù)為A的秩。

　　定義1.

在m′n矩陣A中，任意決定k行和k列

(1￡k￡min{m,n})

交叉點上的元素構(gòu)成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。

　　例如，在階梯形矩陣

中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式

就是矩陣A的一個2階子式。

　　定義2.

A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A

　　的秩，記作rA，或rankA。

　　特別規(guī)定零矩陣的秩為零。

　　顯然rA≤min(m,n)

易得：

　　若A中至少有一個r階子式不等于零，且在r<min(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。

　　由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣,

det(A)1

0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。

　　由行列式的性質(zhì)1(1.5[4])知，矩陣A的轉(zhuǎn)置AT的秩與A的秩是一樣的。

低秩說明

極大無關(guān)組中向量的個數(shù)少或A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數(shù)小

2階分塊矩陣的秩怎么計算

矩陣的秩

在線性代數(shù)中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)。

這是矩陣的秩的定義，但是看上去比較難以理解，因此，我打算從多種矩陣的角度來解答這個問題。

我們知道，一般的矩陣是mxn的類型，還有一種就是方陣，方陣就是特殊的矩陣，指的是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，對于這兩種矩陣而言，矩陣的秩也有著很大的區(qū)別。

對于方陣(行數(shù)、列數(shù)相等)的A矩陣而言，矩陣的秩就是用R(A)來表示。

對于mxn的A矩陣而言，矩陣的秩有多種情況，最大是m和n中的較小的一個數(shù)值，我們稱盡可能大的秩的矩陣為滿秩，那不滿足的話就被稱為秩不足。

當然，這些都是定義，還是要給出實際的例子才能解釋什么才是矩陣的秩。

我們一般怎么來計算矩陣的秩。

通俗的講，就是數(shù)數(shù)，數(shù)矩陣的非零行數(shù)。

矩陣的秩其中有一個定理，這個定理需要大家進行記憶，初等變換不改變矩陣的秩，根據(jù)這個定理，我們在計算矩陣的秩的時候就用矩陣的初等行變換將矩陣變成行階梯矩陣，而行階梯矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。

圖一

那么，對于矩陣的秩有一個初步的了解之后，我們再來研究相應(yīng)的例題。

在研究例題之前，矩陣的秩有幾個定理需要記憶一下。

1、矩陣進行初等變換后是不改變矩陣的秩的，這是我之前舉例子也提到過的一點。

2、矩陣的行秩、列秩、秩都是相等的，這就意味著你只要求出其中一個，就能夠知道其他的條件。

3、如果矩陣A可逆的話，矩陣A和它的逆矩陣B相乘得到的矩陣和逆矩陣B的秩相等，反過來，即為R(AB)=R(B)。

4、假設(shè)存在兩個矩陣M和N，由于矩陣相乘得到的新矩陣的行和列都是在矩陣M和N的行和列的范圍內(nèi)的，所以相乘得到的新矩陣的秩是小于等于矩陣M和N的最小值，即為R(AB)<=min{RA,RB}。

5、假設(shè)存在矩陣K，它的列秩等于列n，由于定理2可以得到列秩和秩都為n。

實際例題

在知道這些定理之后，我們此時做實際的例題就會感覺到簡單一些。

圖二

如圖所示，給出一道例題，我們先審題，矩陣A是3x3的方陣，矩陣B是3x2的矩陣(3行2列)

這里讓我們求方程AX=B的解。

在求該方程的解之前，我要先提一提AX=B這類方程是什么。

形如AX=B的這類方程指的是非齊次線性方程組，也就是常數(shù)項不全為零的線性方程組。

再來看這道題給的提示，系數(shù)矩陣、增廣矩陣和階梯形矩陣。

1、系數(shù)矩陣：方程組的