為什么收斂的數(shù)列 必定 有界數(shù)列是否一定收斂舉例說明

為什么說收斂數(shù)列一定是有界數(shù)列？極限存在的數(shù)列一定是收斂數(shù)列嗎 還有為什么收斂數(shù)列一定有界呢？如何證明收斂數(shù)列必定為有界數(shù)列？為什么有界數(shù)列不一定收斂，而收斂數(shù)列必為有界數(shù)列？為什么說收斂數(shù)列一定有界？為什么收斂數(shù)列必有界？

本文導(dǎo)航

• 有界數(shù)列是否一定收斂舉例說明
• 收斂數(shù)列一定逐漸接近極限嗎
• 數(shù)列收斂怎么證明
• 怎么理解收斂的數(shù)列一定有界
• 數(shù)列收斂必定有極限嗎
• 數(shù)列有界可以說明數(shù)列收斂么

有界數(shù)列是否一定收斂舉例說明

這不是已被證明的定理嗎？

既然收斂，那么從某項(xiàng)（第 N 項(xiàng)）開始，后面的項(xiàng)都集中在極限附近 ，因此有界，

而前面的項(xiàng)是有限項(xiàng)，顯然也有界，

因此整個數(shù)列一定有界 。

收斂數(shù)列一定逐漸接近極限嗎

極限存在的數(shù)列一定是收斂數(shù)列，根據(jù)定義：

設(shè)數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)q（無論多小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|Xn-a|<q成立，就稱數(shù)列{Xn}收斂于a（極限為a），即數(shù)列{Xn}為收斂數(shù)列。所以：數(shù)列收斂<=>數(shù)列存在唯一極限。

收斂的數(shù)列{xn}，在n→∞時，xn→A，這個A是一個固定的極限值，是一個常數(shù)，所以必然有界。如果數(shù)列{Xn}收斂，那么該數(shù)列必定有界。推論：無界數(shù)列必定發(fā)散；數(shù)列有界，不一定收斂；數(shù)列發(fā)散不一定無界。數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。

擴(kuò)展資料：

收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系：

子數(shù)列也是收斂數(shù)列且極限為a恒有|Xn|<M；

若已知一個子數(shù)列發(fā)散，或有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限值，可斷定原數(shù)列是發(fā)散的。

如果數(shù)列{Xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a。

數(shù)列收斂怎么證明

設(shè)數(shù)列{a[n]}收斂于a，由定義知存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n>M時|a[n]-a|<1，或者說a-1<a[n]<a+1于是min{a[1]，a[2]，...，a[M]，a-1}<=a[n]<=max{a[1]，a[2]，...，a[M]，a+1}，即{a[n]}有界。

如果數(shù)列{Xn}收斂，那么該數(shù)列必定有界。推論：無界數(shù)列必定發(fā)散；數(shù)列有界，不一定收斂；數(shù)列發(fā)散不一定無界。

數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。

擴(kuò)展資料：

數(shù)列有極限的必要條件：數(shù)列單調(diào)增且有上界 或 數(shù)列單調(diào)減且有下界=>數(shù)列有極限。

對一切n 有Xn≤M 其中M是與n無關(guān)的常數(shù);稱數(shù)列{Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個上界。

對一切n 有Xn≥m 其中m是與n無關(guān)的常數(shù) 稱數(shù)列{Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個下界。

參考資料來源：百度百科--收斂數(shù)列

參考資料來源：百度百科--有界數(shù)列

怎么理解收斂的數(shù)列一定有界

前者很好舉例，＜-1＞∧n.

它是有界的

-1

1之間，但不收斂

如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定單調(diào)有界

數(shù)列收斂必定有極限嗎

因?yàn)閿?shù)列xn收斂，設(shè)xn收斂于a,根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于ε=1，e正整數(shù)n，當(dāng)n>n，不等式/xn-a/<1都成立。于是，當(dāng)n>n，

/xn/=/(xn-a)+a

/

<=

/

xn-a

/

+

/

a

/

<1+

/

a/

取m=max（

/

x1

/

,

/

x2

/

,…….

/xn/,1+

/

a

/

），那么數(shù)列xn的一切xn都滿足不等式/xn/<=m

這就證明了數(shù)列xn是有界的

數(shù)列有界可以說明數(shù)列收斂么

主觀上來說：

所謂“收斂”就是指“收斂于某處”，據(jù)此定義，收斂數(shù)列必有極限了，當(dāng)然此極限值就是“收斂于”的“某處”啦

具體可以參考第五版“高等數(shù)學(xué)”上冊的“柯西審斂原理”

充要條件自己可以推導(dǎo)出來