怎么判斷矩陣能否相似 如何判斷矩陣合同、相似、等價？

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本文導(dǎo)航

• 怎樣判斷兩個矩陣是否相似
• 如何判斷矩陣合同、相似、等價？
• 如何判斷一個矩陣的相似矩陣？
• 矩陣相似可以得出什么結(jié)論
• 怎么判斷兩個矩陣是否相似？
• 怎么看兩個矩陣是否相似？

怎樣判斷兩個矩陣是否相似

如果兩個矩陣的約旦標準型(對角標準型如果有的話)是一樣的，則這兩個矩陣一定是相似的。這是一個充分必要條件。

證明：充分性：

P^-1AP=JA

Q^-1BQ=JB

因為JA=JB

P^-1AP=Q^-1BQ

QP^-1APQ^-1=B

(PQ^-1)^-1APQ^-1=B PQ^-1是一個可逆矩陣

即A,B相似

必要性：

B=PAP^-1

A=QJQ^-1 J是A的約旦標準型

所以 B=PQJQ^-1P^-1

所以 (PQ)^-1B(PQ)=J

所以A,B有相同的約旦標準型

如何判斷矩陣合同、相似、等價？

1、矩陣等價

矩陣A與B等價必須具備的兩個條件：

(1)矩陣A與B必為同型矩陣(不要求是方陣)；

(2)存在s階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q， 使B= PAQ。

2、矩陣A與B合同

必須同時具備的兩個條件：

(1) 矩陣A與B不僅為同型矩陣而且是方陣；

(2) 存在n階矩陣P:; P^TAP= B。

3、矩陣A與B相似

必須同時具備兩個條件：

(1)矩陣A與B不僅為同型矩陣，而且是方陣；

(2)存在n階可逆矩陣P，使得P^-1AP= B。

擴展資料

矩陣的相似，實際上兩個相似矩陣描述的是同一個線性變換，只是在不同基底下的坐標表示。相似矩陣的特征值相同，秩也相同，方陣對應(yīng)的行列式也相同。

判斷兩個矩陣是否相似，一般的題型是看兩個矩陣能否相似于同一對角陣。同時兩個矩陣相似，其對應(yīng)的以矩陣為變量的兩個函數(shù)也相似。

矩陣的合同是在二次型的背景下提出來的，理解合同就針對二次型里的對稱陣，給一個二次型，我們可以寫成矩陣表達形式，做一系列的可逆變換，新得到的表示二次型的矩陣，就是與原矩陣合同的新矩陣。

對于對稱陣，兩矩陣合同的重要條件是正負慣性指數(shù)相同，也就是正特征值的個數(shù)，負特征值的個數(shù)相同。

矩陣相似與否和合同與否沒有直接關(guān)系，但在我們的考試當中，一般考察對稱陣，在對稱陣的前提下，矩陣相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一樣，合同只要求特征值的正負性一樣。

參考資料來源：百度百科-合同矩陣

參考資料來源：百度百科-相似矩陣

參考資料來源：百度百科-等價矩陣

如何判斷一個矩陣的相似矩陣？

答：根據(jù)題目知道A是對角矩陣，找A的相似對角矩陣。

一個矩陣相似對角陣的充分必要條件是：ni重特征值λ的特征向量有ni個。即r(λiE-A)=n-ni

根據(jù)原理我們求ABCD的特征值為：

特征值1為2重特征值，其對于的矩陣（E-A）的秩，r(E-A)=3-2=1選項A，r(E-A)=2選項B，r(E-A)=2選項C，r(E-A)=1選項D，r(E-A)=2

所以答案選擇C

定義1設(shè)A,B都n是階矩陣,

若存在可逆矩陣P,使

P^(-1)AP=B,

則稱是的相似矩陣,

并稱矩陣與相似.記為。

對進行運算稱為對進行相似變換,

稱可逆矩陣為相似變換矩陣。

矩陣的相似關(guān)系是一種等價關(guān)系，滿足：

(1)

反身性:

對任意階矩陣,有相似。

(2)對稱性:

若相似,

則與相似。

(3)

傳遞性:

若與相似,

則與相似。

擴展資料

相似矩陣的定義是：

設(shè)

A,B

都是

n

階矩陣，若有可逆矩陣

P

，使

P^{-1}AP=B

則稱

B

是

A

的相似矩陣，或說

A

和

B

相似。

特征向量：

矩陣A線性變換后，有某一些向量仍然在變后的空間保持原有的方向，只是這些向量被拉伸或者壓縮的了，稱為特征向量。

特征值：

矩陣進行同一個維度的空間線性變換后，保持方向不變的特征向量的拉伸或者壓縮的倍數(shù)即是特征值， （驗證在文末，參照“備注驗證B”）

參考資料：相似矩陣的百度百科

矩陣相似可以得出什么結(jié)論

你好！

如A∽B

|λE-A|=|λE-B|,從而A,B有相同的特征值

∑aii=∑bii（A,B有相同的跡）

R(A)=R(B)

|A|=|B|

上面的都是必要條件，可以用來排除哪些矩陣不相似

打字不易，采納哦！

怎么判斷兩個矩陣是否相似？

基本定義：

設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^（-1）AP=B，則稱矩陣A與B相似。

特征值，行列式，秩，跡相等；4個條件是矩陣相似的必要條件，而非充分條件。

（n階矩陣A與對角陣相似的充要條件為矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量）

行列式因子，不變因子，初等因子相同；這3條任意一條是矩陣相似的充要條件。

怎么看兩個矩陣是否相似？

判斷兩個矩陣是否相似的方法：

（1）判斷特征值是否相等。

（2）判斷行列式是否相等。

（3）判斷跡是否相等。

（4）判斷秩是否相等。

兩個矩陣相似充要條件是：特征矩陣等價行列式因子相同不變，因子相同初等因子相同，且特征矩陣的秩相同轉(zhuǎn)置矩陣相似。兩個矩陣若相似于同一對角矩陣，這兩個矩陣相似。

擴展資料：

相似矩陣的性質(zhì)

1、兩者的秩相等。

2、兩者的行列式值相等。

3、兩者的跡數(shù)相等。

4、兩者擁有同樣的特征值，盡管相應(yīng)的特征向量一般不同。

5、兩者擁有同樣的特征多項式。

6、兩者擁有同樣的初等因子。

7、若A與對角矩陣相似，則稱A為可對角化矩陣，若n階方陣A有n個線性無關(guān)的特征向量，則稱A為單純矩陣。

8、相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似。