泰勒定理怎么推導(dǎo)的 求泰勒公式推導(dǎo)詳解

霜花2022-08-03 22:12:171291

泰勒定理怎么推導(dǎo)出來的!不然這么長的公式不會運用啊?求泰勒公式推導(dǎo)詳解,泰勒公式推導(dǎo)過程。

本文導(dǎo)航

泰勒公式結(jié)論

1:他是設(shè)多項式p(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3--------+an(x-x0)^n與f(x)接近

這就要求p(x)與f(x)的值與各階導(dǎo)數(shù)在x=x0的值對應(yīng)相等。

那么你把p(x)與f(x)分別對x求導(dǎo),再令他們當(dāng)x=x0時,相等即可啊。

譬如2階導(dǎo)數(shù)在x=x0的值相同。那么

p″(x)=2a2+6a3(x-x0)+ ----------- 注意當(dāng)x=x0時只有第一項不為0即p″(x0)=2a2

令p″(x0)=f″(x0)

則2a2=f″(x0)

推出a2=f″(x0)/2 即確定了多項式p(x)中系數(shù)a2的值

其他的也是內(nèi)推。。。

2:拉格朗日是泰勒公式當(dāng)n=0的特例,這也無需再推啊,你令泰勒公式中的n=0就是拉格朗日了。而且那個拉格朗日中值定理你也寫錯了。

其實這幾個中值定理都有一種遞進的關(guān)系,其中

拉格朗日中值定理是對洛爾定理的推廣(端點連線由水平推廣成一般情況)

柯西中值定理是對拉格朗日的推廣(也可以看成完全等價,因為柯西只不過把拉格中的x寫成了參數(shù)式)

泰勒公式也是對拉格朗日的推廣(在導(dǎo)數(shù)階數(shù)上的推廣)

求泰勒公式推導(dǎo)詳解

泰勒公式:將一個在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(x-x0)的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f(x)在包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù),且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導(dǎo)數(shù),則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x,成立下式:

其中,表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù),等號后的多項式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項,是(x-x0)n的高階無窮小。

擴展資料:

常用函數(shù)的泰勒公式:

泰勒展開式的應(yīng)用:

1、冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項進行,因此求和函數(shù)相對比較容易。

2、一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復(fù)平面上的一個開片上的解析函數(shù),并使得復(fù)分析這種手法可行。

3、泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值,并估計誤差。

4、證明不等式。

5、求待定式的極限。

泰勒公式推導(dǎo)過程

若函數(shù)f(x)在包含x0的某個開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階的導(dǎo)數(shù),那么對于任一x∈(a,b),有f(x)=f(x0)/0?。玣'(x0)/1?。玣''(x0)/2?。玣(n)'(x0)/n?。玆n(x)。

其中,Rn(x)=f(n+1)δ(x-x0)^(n+1)/(n+1)!,此處的δ為x0與x之間的某個值。f(x)稱為n階泰勒公式,其中,P(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!稱為n次泰勒多項式。

擴展資料:

x0由導(dǎo)數(shù)的定義可知,當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)時,在點x0的鄰域U(x0) 內(nèi)恒有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0) 。因為o(x-x0)是一個無窮小量,故有f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0) 。

從幾何上看,它是用切線近似代替曲線。然而,這樣的近似是比較粗糙的,而且只在點的附近才有近似意義。為了改善上述不足,使得近似替代更加精密,數(shù)學(xué)家們在柯西中值定理的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出了泰勒中值定理(泰勒公式)。

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標(biāo)簽: 數(shù)學(xué)

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