什么叫矩估計 矩估計的幾種計算方法

什么叫做矩估計？什么叫矩估計？什么是矩估計？矩估計的基本思想是什么？矩估計量是什么意思？什么是廣義矩估計？求矩估計量、矩估計值和極大似然估計值的詳細(xì)過程是什么？

本文導(dǎo)航

• 矩法估計的定義
• 矩估計值唯一嗎
• 矩估計法的一般步驟
• 矩估計什么意思
• 中心矩估計和原點矩估計
• 矩估計的幾種計算方法

矩法估計的定義

在講解極大似然估計法之前，我們從一個例子入手，了解極大似然估計法的直觀想法:設(shè)甲箱中有99個白球，1個黑球；乙箱中有1個白球，99個黑球．現(xiàn)隨機(jī)取出一箱，再從中隨機(jī)取出一球，結(jié)果是黑球，這時我們自然更多地相信這個黑球是取自乙箱的．因此極大似然估計法就是要選取這樣的數(shù)值作為參數(shù)的估計值，使所選取的樣本在被選的總體中出現(xiàn)的可能性為最大.

定義.若總體X的密度函數(shù)為p(x; θ1, θ2,…, θk)，其中θ1, θ2,…, θk是未知參數(shù)，(X1, X2,…, Xn)是來自總體X的樣本，稱

為θ1,θ2,…,θk的似然函數(shù)．其中x1,x2,…,xn為樣本觀測值．

若有使得

成立, 則稱為θj極大似然估計值(j=1,2,…,k).

特別地,當(dāng)k=1時,似然函數(shù)為:

根據(jù)微積分中函數(shù)極值的原理，要求使得上式成立，只要令

其中L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ).

解之，所得解為極大似然估計，上式稱為似然方程.

又由于與的極值點相同,所以根據(jù)情況,也可以求出的解作為極大似然估計.

若總體X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為:

P(X=x)=p(x; θ1, θ2,…,θk)

其中θ1, θ2,…, θk為未知參數(shù)，同樣可以寫出似然函數(shù)及似然方程.

例3.7.3 已知總體X服從泊松分布

(λ>0, x=0,1,…)

(x1,x2,…,xn)是從總體X中抽取的一個樣本的觀測值，試求參數(shù)λ的極大似然估計.

解．參數(shù)λ的似然函數(shù)為

兩邊取對數(shù):

上式對λ求導(dǎo),并令其為0,即

從而得

即樣本均值是參數(shù)λ的極大似然估計.

例3.7.4 設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ, σ2)，試求μ及σ2的極大似然估計.

解．μ,σ的似然函數(shù)為

似然方程組為

解之得: ,

.

因此及分別是μ及σ2的極大似然估計.

上面我們介紹了兩種求估計量的方法：矩估計法和極大似然估計法.從矩估計法公式我們得到,對正態(tài)總體N(μ, σ2)，未知參數(shù)μ的矩估計為,σ2的矩估計為；而由例3.7.4, μ, σ2的極大似然估計也分別是與.一般地，在相當(dāng)多的情況下，矩估計與極大似然估計是一致的，但也確有許多情形，矩估計法和極大似然估計法給出的估計是不同的.誰優(yōu)誰劣?我們可以用估計量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評價．除此之外，亦可以根據(jù)問題的實際意義進(jìn)行判定.

矩估計值唯一嗎

標(biāo)準(zhǔn)定義(同濟(jì)大學(xué))

矩估計法:用樣本的k階原點矩作為總體k階原點矩的估計的方法稱為矩估計法.

矩估計法的一般步驟

所謂矩估計法, 就是利用樣本矩來估計總體中相應(yīng)的參數(shù). 最簡單的矩估計法是用一階樣本原點矩來估計總體的期望而用二階樣本中心矩來估計總體的方差.

矩估計法的基本思想是用樣本矩代替總體矩.

矩估計什么意思

中心矩估計和原點矩估計

廣義矩估計，即GMM（Generalized method of moments），是基于模型實際參數(shù)滿足一定矩條件而形成的一種參數(shù)估計方法，是矩估計方法的一般化。只要模型設(shè)定正確，則總能找到該模型實際參數(shù)滿足的若干矩條件而采用GMM 估計。

廣義矩方法(generalized method of moments GMM)是關(guān)于參數(shù)估計的一種原理，關(guān)于GMM的一般表述是由漢森(1982)提出的。GMM最大的優(yōu)點是僅需要一些矩條件而不是整個密度。很多的估計量都可以視為GMM的特例，這些估計量包括普通最小二乘估計量、工具變量法估計量、兩階段最小二乘估計量、非線性聯(lián)立方程系統(tǒng)的估計量以及動態(tài)理性預(yù)期模型的估計量等，在很多情況下即使極大似然估計量也可看作是GMM的一個特例。許多計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的模型不是通過完全的分布假設(shè)而是通過矩條件來設(shè)定，例如帶有不可觀測的個體影響的動態(tài)平面數(shù)據(jù)模型和含有理性預(yù)期的微觀經(jīng)濟(jì)模型，這些模型通常是使用GMM方法來估計的。

GMM方法的提出促進(jìn)了金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展也為GMM方法提供了更為廣闊的應(yīng)用空間，同時也推動了GMM理論的完善。金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)(Financial Econometrics)是隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展而產(chǎn)生的一門新的分支學(xué)科，它在發(fā)達(dá)國家也只有十余年的歷史，而在中國則是剛剛提出的。金融計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展除了得益于金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展外，還得益于以下兩個重要原因：一是特殊的計量經(jīng)濟(jì)方法的發(fā)展。

矩估計的幾種計算方法

求矩估計量、矩估計值和極大似然估計值的詳細(xì)過程：

1、根據(jù)題目給出的概率密度函數(shù)，計算總體的原點矩（如果只有一個參數(shù)只要計算一階原點矩，如果有兩個參數(shù)要計算一階和二階）。由于有參數(shù)這里得到的都是帶有參數(shù)的式子。如果題目給的是某一個常見的分布，就直接列出相應(yīng)的原點矩（E(x)）。;

2、根據(jù)題目給出的樣本。按照計算樣本的原點矩，讓總體的原點矩與樣本的原點矩相等，解出參數(shù)。所得結(jié)果即為參數(shù)的矩估計值。

矩估計量的背景知識：

簡單的講，概率密度函數(shù)表示的就是隨機(jī)變量X在某點的概率（所有點的概率和為1）。對于連續(xù)型的隨機(jī)變量，其圖像通常為一個連續(xù)的曲線，離散型的隨機(jī)變量的圖像一般是一個一個點組成。

“似然性”與“或然性”或“概率”意思相近，都是指某種事件發(fā)生的可能性，但是在統(tǒng)計學(xué)中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明確的區(qū)分。似然性則是用于在已知某些觀測所得到的結(jié)果時，對有關(guān)事物的性質(zhì)的參數(shù)進(jìn)行估計。這里類似于“貝葉斯方法”的思路。