什么是單位正交特征向量 矩陣的特征值求法詳細(xì)步驟

特征向量正交化,單位化,是怎么求的?如何運(yùn)算?怎么就正交化,單位化了?這個(gè)單位特征向量到底是怎么算的,解不就是(1,2,2)T嗎,為什么多了1/3?還是說(shuō)單位特征向量的?什么是特征向量?特征值?如何判斷特征向量是否正交?求矩陣的特征值及正交單位化特征向量,特征向量單位化怎么單位化啊,有公式嗎?

本文導(dǎo)航

正交特征向量怎么求

主要是方便規(guī)范化,便于工程計(jì)算。。。。。。其實(shí)沒(méi)有很大的用處

平面向量秒殺公式

本題是考察

實(shí)對(duì)稱矩陣A用正交矩陣P把實(shí)對(duì)稱矩陣A化為對(duì)角矩陣B ,即

PTAP = B,B是對(duì)角矩陣,P是正交矩陣PT=P-1。

以前你遇到的可能是求一個(gè)可逆矩陣P使得,P-1AP=B

并沒(méi)有要求正交性要求。

由于實(shí)對(duì)稱矩陣必然存在一個(gè)正交矩陣P,PTAP =P-1AP = B

而其他的矩陣是不一定存在的這一正交矩陣的。

由于P是正交矩陣,所以根據(jù)正交矩陣的性質(zhì),其列向量都是單位向量

根據(jù)單位向量的定義,其內(nèi)積為1

所以得到的特征向量不一定都是內(nèi)積為1的單位向量,需要單位化。

1、求矩陣A的特征值(λ1,λ2,...,λn)

2、求矩陣A的特征向量(α1,α2,...,αn)

3、改造特征向量(單位化、Schmidt正交化)γ1,γ2,...,γn

4、構(gòu)造正交矩陣P=(γ1,γ2,...,γn)

newmanhero 2015年6月12日22:28:35

希望對(duì)你有所幫助,望采納。

特征向量之間什么關(guān)系

  • 矩陣(以方陣為例)可以看作是一個(gè)坐標(biāo)系;

  • 矩陣乘法可以看作是一個(gè)變換,可以把一個(gè)向量變成另一個(gè)向量;

  • 在這個(gè)變換過(guò)程中,原向量可能在坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)、伸縮;

  • 如果在這個(gè)變換過(guò)程中,矩陣對(duì)某個(gè)向量只發(fā)生伸縮,而不發(fā)生旋轉(zhuǎn);則這個(gè)向量為這個(gè)矩陣的特征向量,而伸縮的比例就是特征值。

  • 矩陣是一個(gè)系統(tǒng)的理論,要理解特征向量、特征值,最好先了解矩陣的幾何意義。

    怎么判斷一個(gè)向量正交

    我判斷特征向量是否正確。只要我們看兩個(gè)線路是否重疊重疊就是正向。

    實(shí)對(duì)稱矩陣相關(guān)題目,敲重點(diǎn)《不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交》

    矩陣的特征值求法詳細(xì)步驟

    1

    -2

    0

    -2

    5

    0

    0

    0

    2

    |A-λE|=

    1-λ

    -2

    0

    -2

    5-λ

    0

    0

    0

    2-λ

    =

    (2-λ)[(1-λ)(5-λ)-4]

    =

    (2-λ)(λ^2-6λ+1)

    =

    (2-λ)(λ-(3+2√2))(λ-(3-2√2))

    A

    的特征值為

    2,

    3+2√2,

    3-2√2

    --特征值是無(wú)理數(shù)

    手工計(jì)算很麻煩,

    若可以的話我給你軟件計(jì)算的結(jié)果

    A=

    3

    2

    -1

    -2

    -2

    2

    3

    6

    -1

    |A-λE|=

    3-λ

    2

    -1

    -2

    -2-λ

    2

    3

    6

    -1-λ

    r3-3r1

    3-λ

    2

    -1

    -2

    -2-λ

    2

    3λ-6

    0

    2-λ

    c1+3c3

    2

    -1

    4

    -2-λ

    2

    0

    0

    2-λ

    =

    (2-λ)(λ^2+2λ-8)

    =

    (2-λ)(λ-2)(λ+4).

    A+4E

    7

    2

    -1

    -2

    2

    2

    3

    6

    3

    -->

    1

    0

    -1/3

    0

    1

    2/3

    0

    0

    0

    得A的屬于特征值-4的特征向量

    a1=(1,-2,3)^T.

    單位化得

    b1=(1/√14,-2/√14,3/√14)^T

    A-2E=

    1

    2

    -1

    -2

    -4

    2

    3

    6

    -3

    -->

    1

    2

    -1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    得A的屬于特征值2的特征向量

    a2=(1,0,1)^T,a3=(1,-2,-1)^T.

    單位化得

    b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√6,-2/√6,-1/√6)^T

    為什么正交向量需要單位化

    正交化會(huì),單位化就是把這個(gè)向量化為單位向量。

    比如向量(1,2,3)單位化就是:[1/根號(hào)下(1^2+2^2+3^2),2/根號(hào)下(1^2+2^2+3^2),3/根號(hào)下(1^2+2^2+3^2)]=(1/根號(hào)14,2/根號(hào)14,3/根號(hào)14)

    特征向量對(duì)應(yīng)的特征值是它所乘的那個(gè)縮放因子。特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間,還包括零向量,但要注意零向量本身不是特征向量。線性變換的主特征向量是最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。特征值的幾何重次是相應(yīng)特征空間的維數(shù)。

    擴(kuò)展資料

    譜定理在有限維的情況,將所有可對(duì)角化的矩陣作了分類:它顯示一個(gè)矩陣是可對(duì)角化的,當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛(厄爾米特)的情況。這很有用,因?yàn)閷?duì)角化矩陣T的函數(shù)f(T)(譬如波萊爾函數(shù)f)的概念是清楚的。

    在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時(shí)候譜定理的作用就更明顯了。例如,若f是解析的,則它的形式冪級(jí)數(shù),若用T取代x,可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對(duì)收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。

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    標(biāo)簽: 物理

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