A組秩次怎么算 向量組的秩怎么求

什么叫秩次?？向量組的秩怎么求？線性代數(shù)里的秩怎么數(shù)？向量組的秩該怎么求？矩陣的秩具體求法。

本文導(dǎo)航

• 什么叫秩次??
• 向量組的秩怎么求
• 線性代數(shù)解的個(gè)數(shù)和秩的關(guān)系
• 向量組的秩的判斷
• 矩陣的秩具體求法

什么叫秩次??

秩次其實(shí)就是序數(shù),如有以下一組數(shù)字:1,2,5,6,7,9

將它們排序后對(duì)應(yīng)的秩次就是:1,2,3,4,5,6,秩和就是秩次的和,如第1個(gè)數(shù)字與第3個(gè)數(shù)字的秩和就是1+3=4.

再舉個(gè)例子:在Wilcoxon Signed Rank Test,如要進(jìn)行單個(gè)總體的中位數(shù)檢驗(yàn),如:1,3,3,4,6,6,7,9.我們要比較其中位數(shù)與5的差異,那就先將數(shù)組減去5,然后將減去5后的絕對(duì)值進(jìn)行排序,排序后組數(shù)為4,6,6,3,3,7,1,9. 本來(lái)對(duì)應(yīng)的秩次應(yīng)該是1,2,3,4,5,6,7,8, 但由于其中如4,6,6,減去5的絕對(duì)值都是1,所以4,6,6對(duì)應(yīng)秩次需要修正變?yōu)?,2,2,同理,3,3,7減5的絕對(duì)值也相等,結(jié)果此數(shù)組的秩次是:2,2,2,5,5,5,7.5,7.5

說(shuō)的有點(diǎn)顛三倒四的,不知您是否看明白,呵呵.

向量組的秩怎么求

為討論方便，設(shè)A為m階方陣 證明：設(shè)方陣A的秩為n 因?yàn)槿魏尉仃嚩伎梢酝ㄟ^一系列初等變換，變成形如 1 0 … 0 … 0 0 1 … 0 … 0 ………………… 0 0 … 1 … 0 0 0 … 0 … 0 ………………… 0 0 … 0 … 0 的矩陣，稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形（注：這不是二次型的對(duì)稱矩陣提到的標(biāo)準(zhǔn)形）本題討論的是方陣，就是可以通過一系列初等行變換的標(biāo)準(zhǔn)形為主對(duì)角線前若干個(gè)是1；其余的是若干個(gè)0 以及除對(duì)角線以外的元素都是0。設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形為B 因?yàn)椤癿×m階矩陣構(gòu)成的數(shù)域P上的線性空間”與 “該線性空間上的全體線性變換在數(shù)域P上的線性空間”同構(gòu)。所以研究得到線性空間的性質(zhì)可以照搬到線性變換空間上應(yīng)用，從同構(gòu)的意義上說(shuō)，他們是“無(wú)差別”的。（由于線性變換符號(hào)的字體不能單獨(dú)以花體字體區(qū)別，所以用形如“線性變換A”，表示線性變換用形如“矩陣A”，表示線性變換的矩陣） 前面知識(shí)應(yīng)該提到的內(nèi)容：一系列初等矩陣的乘積是非退化的，初等變換不改變矩陣的秩，初等變換是可逆的所以矩陣B的秩（1的個(gè)數(shù)），就是矩陣A的秩，就是n 因?yàn)榭赡媲也桓淖冎?，所以討論矩陣B的情況，可以應(yīng)用到矩陣A上。我們隨即看到，如果線性變換B（或者說(shuō)矩陣B）的秩是n，則線性變換B就是對(duì)線性空間的前n個(gè)基做恒等映射（因?yàn)榛蛄拷M沒有秩序，我們?nèi)∏皀個(gè)不會(huì)有原則性的問題）后m-n個(gè)基做零變換，所構(gòu)成的線性變換，線性變換B的特征多項(xiàng)式是(λ-1)^n 就可以快速找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，這些特征向量直接取線性空間的前n個(gè)基就可以了。我們得到的結(jié)論是，線性變換B秩是多少，就一定找到有多少個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。因?yàn)橐粋€(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值，所以有多少個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，就有多少個(gè)特征值（不管你的特征值是不是一樣）這里有n個(gè)1，都是一樣的（從特征多項(xiàng)式也知道有n個(gè)重根）因?yàn)榉峭嘶木€性替換不改變空間的維數(shù)，不改變矩陣的秩。 下面我們解釋重根為什么按重?cái)?shù)計(jì)算，對(duì)矩陣B做初等行變換，第i行乘以數(shù)域P上的數(shù)k≠1（當(dāng)然，如果k=1純屬脫褲子放屁），我們的特征多項(xiàng)式變?yōu)?λ-1)^(n-1)*(λ-k)，其它初等變換相應(yīng)類推。 借用學(xué)物理的思維，一個(gè)變換莫測(cè)的關(guān)系中，尋找守恒量是什么？這個(gè)是有意義的。而做這樣的非退化的線性變換變換，雖然特征值會(huì)隨之改變，但是守恒量是一定能找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，其個(gè)數(shù)就是矩陣B（線性變換B）的秩是不變的。這樣我們就發(fā)現(xiàn)了守恒量，至于屬于不同特征向量的特征值是否相等，純屬巧合，無(wú)意義。有多少個(gè)碰巧相等的都無(wú)所謂，有多少個(gè)相等（相當(dāng)于特征多項(xiàng)式的幾次方），就當(dāng)然重復(fù)計(jì)算。 最后來(lái)一個(gè)問題的封閉，題目說(shuō)的是方陣A 這個(gè)簡(jiǎn)單，將矩陣B做一系列初等行變換，雖然特征多項(xiàng)式改變了，線性變換改變了，特征多項(xiàng)式也變了，但是我們發(fā)現(xiàn)的守恒量n，是不變的。

線性代數(shù)解的個(gè)數(shù)和秩的關(guān)系

2. 向量組的秩

向量組的秩：在一個(gè)m維線性空間E中，一個(gè)向量組的秩表示的是其生成的子空間的維度?？紤]m× n矩陣，將A的秩定義為向量組F的秩，則可以看到如此定義的A的秩就是矩陣 A的線性無(wú)關(guān)縱列的極大數(shù)目，即 A的列空間的維度(列空間是由 A的縱列生成的 F的子空間)。因?yàn)榱兄群托兄仁窍嗟鹊?，我們也可以定義 A的秩為 A的行空間的維度。

向量組的秩的判斷

一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所包含的向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩；若向量組的向量都是0向量，則規(guī)定其秩為0，向量組α1，α2，···，αs的秩記為R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。

擴(kuò)展資料

數(shù)學(xué)實(shí)例

設(shè)有兩個(gè)向量組

（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；

（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；

如果（Ⅰ）中每個(gè)向量都可以由向量組（Ⅱ）線性表示，則稱（Ⅰ）可由（Ⅱ）線性表示；如果（Ⅰ）與（Ⅱ）可以相互線性表示，則稱（Ⅰ）與（Ⅱ）等價(jià)，記為（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，則向量組（Ⅰ）={α1，α2}與向量組（Ⅱ）={β1，β2，β3}等價(jià)。事實(shí)上，給定的條件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）線性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，這表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）線性表示，由定義即知（Ⅰ）與（Ⅱ）等價(jià)。

參考資料來(lái)源：百度百科-向量組的秩

參考資料來(lái)源：百度百科-等價(jià)向量組

矩陣的秩具體求法

矩陣的秩計(jì)算公式：A=(aij)m×n

矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)，通常表示為r(A)，rk(A)或rank;A。

在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無(wú)關(guān)的橫行的極大數(shù)目。即如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。

擴(kuò)展資料：

矩陣的秩

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：設(shè)矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數(shù)n，則A的列秩，秩都等于n。

當(dāng)r(A)<=n-2時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個(gè)正負(fù)號(hào)，所以伴隨陣為0矩陣。

當(dāng)r(A)<=n-1時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號(hào)成立時(shí)伴隨陣必為非零）。

參考資料來(lái)源：百度百科-矩陣的秩