正定二次型是什么 考研數(shù)學(xué)都會(huì)但老是算錯(cuò)簡(jiǎn)單的數(shù)
關(guān)于正定二次型,合同矩陣的正定二次型,怎么判定一個(gè)二次型是正定的?正定矩陣和正定二次型有什么區(qū)別啊?正定二次型的判定方法是什么?考研數(shù)學(xué)當(dāng)中的二次型正定重要嗎?
本文導(dǎo)航
- 正定西上高速規(guī)劃圖
- 如何判斷矩陣為合同矩陣
- 二次型的值怎么求
- 正定矩陣的幾何意義通俗解釋
- 半正定矩陣如何判斷
- 考研數(shù)學(xué)都會(huì)但老是算錯(cuò)簡(jiǎn)單的數(shù)
正定西上高速規(guī)劃圖
因?yàn)閒是一些平方項(xiàng)的和
所以
f=0
<=>
每一個(gè)平方項(xiàng)都等于0
<=>
x1+a1x2=0
....
xn+anx1=0
所以, 當(dāng)方程組只有零解時(shí)
任給x=(x1,...,xn)^T≠0, x不是方程組的解
所以 f ≠ 0
即有 f > 0, f正定
如何判斷矩陣為合同矩陣
主條目:正定二次型一個(gè)二次型被稱(chēng)為半正定的,如果它對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)合同到一個(gè)一個(gè)對(duì)角線上元素只由0和1構(gòu)成的對(duì)角矩陣。如果一個(gè)二次型的矩陣在實(shí)數(shù)域內(nèi)合同于單位矩陣,那么稱(chēng)其為正定二次型。一個(gè)二次型是半正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的正慣性指數(shù)等于它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩;是正定二次型當(dāng)且僅當(dāng)它的正慣性指數(shù)是 n。 正定二次型必然是可逆矩陣,而且它的行列式大于0。同樣的可以定義半負(fù)定、負(fù)定和不定的二次型。
二次型的值怎么求
定義:設(shè)有實(shí)二次型,如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù),都有f(x)>0,則稱(chēng)此二次型為正定二次型,并把其對(duì)稱(chēng)矩陣A稱(chēng)為正定矩陣.正定二次型的判別方法:
1):二次型標(biāo)準(zhǔn)形中n個(gè)系數(shù)都大于零,則其為正定;
2):二次型的對(duì)稱(chēng)矩陣A的n個(gè)特征值大于零,則其為正定;
3):對(duì)稱(chēng)矩陣A的各階順序主子式全大于零,則其為正定.
注:設(shè)A為n階方陣,則位于A的左上角的1階,2階,...,n階子式,
即:稱(chēng)為A的各階順序主子式.
判別二次型的正定性.解:方法一:利用二次型的對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值來(lái)判斷.先寫(xiě)出二次型的矩陣:由于:可得其全部特征值:>0,>0,>0故此二次型為正定二次型.方法二:利用二次矩陣的各階順序主子式來(lái)判定.由于此二次型的矩陣為:因?yàn)樗膫€(gè)階順序主子式:>0,>0,>0故此二次型為正定二次型.
正定矩陣的幾何意義通俗解釋
二次型是一個(gè)N元二次齊次多項(xiàng)式:正定是指當(dāng)這個(gè)多項(xiàng)式的自變量不全為零時(shí),多項(xiàng)式的值恒為正。
半正定矩陣如何判斷
正定二次型的判別方法:
1:二次型標(biāo)準(zhǔn)形中n個(gè)系數(shù)都大于零,則其為正定;
2:二次型的對(duì)稱(chēng)矩陣A的n個(gè)特征值大于零,則其為正定;
3:對(duì)稱(chēng)矩陣A的各階順序主子式全大于零,則其為正定.;
注:設(shè)A為n階方陣,則位于A的左上角的1階,2階,...,n階子式,
擴(kuò)展資料:
對(duì)于給定的二次型 ,先將化為標(biāo)準(zhǔn)形,然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)為正的個(gè)數(shù)是否等于來(lái)判定二次型的正定性。
通過(guò)正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后,標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值。因此,可先求二次型矩陣的特征值,然后根據(jù)大于零的特征值個(gè)數(shù)是否等于來(lái)判定二次型的正定性。
參考資料來(lái)源:百度百科-正定二次型
考研數(shù)學(xué)都會(huì)但老是算錯(cuò)簡(jiǎn)單的數(shù)
考研數(shù)學(xué)當(dāng)中的二次型正定重要。
正定二次型是二次型中一項(xiàng)非常重要的二次型,定理6.2二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換,其正定性不變。二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換,其正定性不變。
定理證明設(shè)二次型f(x)=xtax,經(jīng)過(guò)可逆線性變換x=cy化成了二次型f(y)=(cy)tacy=ytctacy若xtax是正定的,即對(duì)任意的x∈rn,x≠0,有是正定的,xtax>0。
簡(jiǎn)介
二次型f (y) = (Cy)TA C y= yTCTAC y是正定的。是正定的反過(guò)來(lái)也是對(duì)的,有相同的正定性。反過(guò)來(lái)也是對(duì)的,故xTA x和yTCTAC y有相同的正定性。
有相同的正定性從定理的證明還可以看出,對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,和從定理的證明還可以看出,對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A,A和CTAC (其中可逆有相同的正定性。其中C可逆有相同的正定性。其中可逆)有相同的正定性。
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