第一類曲線積分是什么 第一類曲線積分的計(jì)算例題及解析

關(guān)于第一類曲線積分，第一類曲線積分，這一段怎么看呢？第一類曲線積分怎么求？第一類曲線積分和第二類曲線積分的異同，第一類曲線積分的幾何意義，第一類曲線積分計(jì)算方法。

本文導(dǎo)航

• 第二類曲線積分的定義
• 第一類曲線積分的計(jì)算例題及解析
• 第二類曲線積分計(jì)算法
• 第二類曲線積分基本計(jì)算步驟
• 空間曲線的第一類曲線積分公式
• 怎么計(jì)算一型曲線積分

第二類曲線積分的定義

第一類是對(duì)弧長(zhǎng)積分，即定義在弧長(zhǎng)上,沒(méi)有方向.如求非密度均勻的線狀物體質(zhì)量。第二類是對(duì)坐標(biāo)（有向弧長(zhǎng)在坐標(biāo)軸的投影）積分,有方向.如解決做功類問(wèn)題。假設(shè)曲線正向，兩者可互換，弧長(zhǎng)元dscosθ=dx,dssinθ=dy,（cosθ,sinθ)是沿著正向曲線單位切向量。

第一類曲線積分的計(jì)算例題及解析

這是第一類曲線積分，圓圈代表積分曲線是封閉曲線。曲線積分分為:對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 (第一類曲線積分)，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分是可以互相轉(zhuǎn)化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;這樣對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分都可以轉(zhuǎn)換成對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分了。

設(shè)有一曲線形構(gòu)件占xOy面上的一段曲線 ，設(shè)構(gòu)件的質(zhì)量分布函數(shù)為ρ(x,y)，設(shè)ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對(duì)于密度均勻的物件可以直接用ρS求得質(zhì)量；對(duì)于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。

第二類曲線積分計(jì)算法

設(shè)有一曲線形構(gòu)件占xOy面上的一段曲線 ，設(shè)構(gòu)件的密度分布函數(shù)為ρ(x，y)，設(shè)ρ(x，y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對(duì)于密度均勻的物件可以直接用ρV求得質(zhì)量；

對(duì)于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分，dm=ρ(x，y)ds；所以m=∫ρ(x，y)ds；L是積分路徑，∫ρ(x，y)ds就叫做對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。

擴(kuò)展資料

量子力學(xué)

量子力學(xué)中的“曲線積分形式”和曲線積分并不相同，因?yàn)榍€積分形式中所用的積分是函數(shù)空間上的泛函積分，即關(guān)于空間中每個(gè)路徑的概率函數(shù)進(jìn)行積分。然而，曲線積分在量子力學(xué)中仍有重要作用，比如說(shuō)復(fù)圍道積分常常用來(lái)計(jì)算量子散射理論中的概率振幅。

復(fù)分關(guān)系

如果將復(fù)數(shù)看作二維的向量，那么二維向量場(chǎng)的曲線積分就是相應(yīng)復(fù)函數(shù)的共軛函數(shù)在同樣路徑上的積分值的實(shí)部。根據(jù)柯西-黎曼方程，一個(gè)全純函數(shù)的共軛函數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量場(chǎng)的旋度是0。

第二類曲線積分基本計(jì)算步驟

1、積分對(duì)象不同

第一類曲線積分是對(duì)弧長(zhǎng)積分，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的積分元素是弧長(zhǎng)元素；

第二類曲線積分是對(duì)坐標(biāo)（有向弧長(zhǎng)在坐標(biāo)軸的投影）積分，對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分的積分元素是坐標(biāo)元素。

2、應(yīng)用場(chǎng)合不同

第一類曲線積分求非密度均勻的線狀物體質(zhì)量等問(wèn)題；

第二類曲線積分解決做功類等問(wèn)題。

3、是否考慮方向

第一類曲線積分都是和方向無(wú)關(guān)的，對(duì)標(biāo)量的積分；

第二類曲線積分都是和方向有關(guān)的，對(duì)某種意義上的矢量的積分。

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積分聯(lián)系

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分是可以互相轉(zhuǎn)化的，利用弧微分公式

，或者

；這樣對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分都可以轉(zhuǎn)換成對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分了。

在曲線積分中，被積的函數(shù)可以是標(biāo)量函數(shù)或向量函數(shù)。積分的值是路徑各點(diǎn)上的函數(shù)值乘上相應(yīng)的權(quán)重（一般是弧長(zhǎng)，在積分函數(shù)是向量函數(shù)時(shí)，一般是函數(shù)值與曲線微元向量的標(biāo)量積）后的黎曼和。

帶有權(quán)重是曲線積分與一般區(qū)間上的積分的主要不同點(diǎn)。物理學(xué)中的許多簡(jiǎn)單的公式（比如說(shuō)）在推廣之后都是以曲線積分的形式出現(xiàn)。曲線積分在物理學(xué)中是很重要的工具，例如計(jì)算電場(chǎng)或重力場(chǎng)中的做功，或量子力學(xué)中計(jì)算粒子出現(xiàn)的概率。

參考資料來(lái)源：百度百科--曲線積分

參考資料來(lái)源：百度百科--第一型曲線積分

參考資料來(lái)源：百度百科--第二型曲線積分

空間曲線的第一類曲線積分公式

第一類曲線積分的幾何意義：∫x^2ds=∫y^2d。在數(shù)學(xué)中，曲線積分是積分的一種。積分函數(shù)的取值沿的不是區(qū)間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。曲線積分有很多種類，當(dāng)積分路徑為閉合曲線時(shí)，稱為環(huán)路積分或圍道積分。曲線積分可分為：第一類曲線積分和第二類曲線積分。

曲線，是微分幾何學(xué)研究的主要對(duì)象之一。直觀上，曲線可看成空間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。微分幾何就是利用微積分來(lái)研究幾何的學(xué)科。為了能夠應(yīng)用微積分的知識(shí)，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續(xù)曲線，因?yàn)檫B續(xù)不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。

怎么計(jì)算一型曲線積分

定義在平面曲線或空間曲線上的函數(shù)關(guān)于該曲線的積分。第一型曲線積分物理意義來(lái)源于對(duì)給定密度函數(shù)的空間曲線，計(jì)算該曲線的質(zhì)量。1、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一類）
（1）如果L由y=y（x）給出，x屬于[a，b]
[公式]
（2）如果L由x=x（y）給出，y屬于[c，d]，
[公式]
（3）如果L由[公式]，[公式]
[公式]
2、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二類）
（1）如果L由y=y（x）給出，x屬于[a，b]
[公式]
（2）如果L由x=x（y）給出，y屬于[c，d]，
[公式]
（3）如果L由[公式]，[公式]
[公式]
好了，只是貼個(gè)公式，就占用了那么多篇幅，看來(lái)計(jì)算公式真的夠冗長(zhǎng)的。其實(shí)大家仔細(xì)觀察上面的公式，無(wú)論第一型曲線積分還是第二型曲線積分，都只需要記住第三種情況就行了，因?yàn)榍皟煞N都是第三種的特殊形式。那么這就是今天我要介紹的簡(jiǎn)單方法??哈哈，當(dāng)然不是，我要介紹的比這個(gè)還簡(jiǎn)單。