什么是多元函數(shù)的極值 如何快速地求多元函數(shù)的極值
多元函數(shù)的極值,多元函數(shù)的極值,這一步怎么來的?求多元函數(shù)極值,多元函數(shù)取極值的條件是什么?高數(shù)多元函數(shù)條件極值,多元函數(shù)極值。
本文導(dǎo)航
- 多元函數(shù)極值知識總結(jié)
- 如何快速地求多元函數(shù)的極值
- 二元函數(shù)求極值的方法
- 怎么判斷多元函數(shù)的極值及其求法
- 多元函數(shù)極值存在的充分條件
- 多元函數(shù)用定義判定極值
多元函數(shù)極值知識總結(jié)
V=xy·h→h=v/xy
S(x,y)=xy+2(xh+yh)=xy+2v(1/x+1/y)
?S/?x=y-2v/x2
?S/?y=x-2v/y2
駐點(diǎn)(?2v,?2v)、(0,0)舍去
?2S/?x2=4v/x3→A=2
?2S/?x?y=1 ; ;→B=1
?2S/?y2=4v/y3→C=2
A>0 B2-AC=1-4<0;駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)
取得極小值時(shí)長寬均=?(2v) 高=?(v/4)
如何快速地求多元函數(shù)的極值
:
各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù)為0,這是一個(gè)必要條件。充分條件是這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式為正定或負(fù)定的。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是半正定的則需要進(jìn)一步判斷三階行列式。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是不定的,那么這時(shí)不是極值點(diǎn)。
二元函數(shù)求極值的方法
一、多元函數(shù)的極值及最大值與最小值:
定義:設(shè)函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈,P0(x0,y0)D,P0(x0,y0)為DD的內(nèi)點(diǎn)。若存在P0P0的某個(gè)鄰域U(P0)?DU(P0)?D。
若對于該鄰域內(nèi)異與P0P0的任何點(diǎn)(x,y)(x,y),都有:
f(x,y)<f(x0,y0)
f(x,y)<f(x0,y0)
則稱函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)有極大值f(x0,y0)f(x0,y0),點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)f(x,y)的極大值點(diǎn);
若對于該鄰域內(nèi)異與P0P0的任何點(diǎn)(x,y)(x,y),都有:
f(x,y)>f(x0,y0)
f(x,y)>f(x0,y0)
則稱函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)有極小值f(x0,y0)f(x0,y0),點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)f(x,y)的極小值點(diǎn);
極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。
定理1(必要條件):設(shè)函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)處有極值,則有
怎么判斷多元函數(shù)的極值及其求法
設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x.,y.)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x.,y.),fy(x.,y.)=0,令
fxx(x.,y.)=A,fxy=(x.,y.)=B,fyy=(x.,y.)=C
則f(x,y)在(x.,y.)處是否取得極值的條件是
(1)AC-B*B>0時(shí)有極值
(2)AC-B*B
設(shè)D為一個(gè)非空的n 元有序數(shù)組的集合, f為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個(gè)有序數(shù)組 ( x1,x2,…,xn)∈D,通過對應(yīng)規(guī)則f,都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對應(yīng),則稱對應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。
記為y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 變量x1,x2,…,xn稱為自變量,y稱為因變量。
擴(kuò)展資料多元函數(shù)的本質(zhì)是一種關(guān)系,是兩個(gè)集合間一種確定的對應(yīng)關(guān)系。這兩個(gè)集合的元素可以是數(shù);也可以是點(diǎn)、線、面、體;還可以是向量、矩陣等等。
人們最常見的函數(shù),以及目前我國中學(xué)數(shù)學(xué)教科書所說的“函數(shù)”,除有特別注明者外,實(shí)際上(全稱)是一元單值實(shí)變函數(shù)。
極值是變分法的一個(gè)基本概念。泛函在容許函數(shù)的一定范圍內(nèi)取得的最大值或最小值,分別稱為極大值或極小值,統(tǒng)稱為極值。
“極大值” 和 “極小值”的統(tǒng)稱。如果函數(shù)在某點(diǎn)的 值大于或等于在該點(diǎn)附近任何其他 點(diǎn)的函數(shù)值,則稱函數(shù)在該點(diǎn)的值 為函數(shù)的“極大值”。
多元函數(shù)極值存在的充分條件
答:
1、你的想法非常的好,而且也是對的,下面分析給你;
2、拉格朗日乘數(shù)法是必要條件法,而不是充分條件,這就是說,如果連續(xù)的多元函數(shù)可微且在連續(xù)區(qū)域內(nèi)存在極值點(diǎn)(最值點(diǎn)),那么其滿足拉格朗日乘數(shù)法,該方法本質(zhì)還是降元求極值法,由一元極值求法我們可知,如果駐點(diǎn)存在,有可能極值(最值)存在,如果駐點(diǎn)不存在,那么極值(最值)不一定不存在!同理,這個(gè)條件也適合多元函數(shù);也就是說,拉格朗日乘數(shù)法求得的駐點(diǎn),必須要驗(yàn)證;
3、微分中值定理,積分中值定理,介質(zhì)定理,零點(diǎn)定理,最值定理,在多元連續(xù)函數(shù)中也是成立的,而且這些定理才是定義多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)特征性定理,因此,如果拉格朗日乘數(shù)法計(jì)算出駐點(diǎn)后,實(shí)際上是必須要結(jié)合邊界點(diǎn)進(jìn)行判斷的,這個(gè)和一元函數(shù)沒有什么區(qū)別;
4、多元函數(shù)的微分中值定理,介質(zhì)定理,最值定理證明非常繁瑣,已經(jīng)超出了高數(shù)的要求,因此,對于拉格朗日乘數(shù)法的充分條件,高數(shù)中并沒有討論,但是,驗(yàn)證駐點(diǎn)和邊界點(diǎn),這個(gè)要求也必須的,你的想法是沒有問題的;
5、因?yàn)槌V的問題,高數(shù)中所給的條件極值不可能出現(xiàn)不存在的情況,因此,在后續(xù)做題時(shí),駐點(diǎn)是極值點(diǎn)可以一句話帶過,但是從知識的完備性考慮,邊界點(diǎn)不是極值點(diǎn)也可一句話帶過就行了!
多元函數(shù)用定義判定極值
求f(x,y)=x3+2xy-y3+2的極值,解:令?f/?x=3x2+2y=0.............①再令?f/?y=2x-3y2=0..................②由②得x=(3/2)y2;代入①式得 (27/4)y^4+2y=y[(27/4)y3+2]=0,故得:y?=0;y?=-2/3;相應(yīng)地,x?=0;x?=2/3;即有兩個(gè)駐點(diǎn):M(0,0);N(-2/3,2/3)。
再求兩駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù):A=?2f/?x2=6x; B=?2f/?x?y=2; C=?2f/?y2=-6y;M(0,0): A=0;B=2;C=0;B2-AC=4>0,故M不是極值點(diǎn);N(-2/3,2/3): A=-4<0; B=2; C=-4; B2-AC=4-16=-12<0;故N是極大點(diǎn)。極大值f(x,y)=f(-2/3,2/3)=(-2/3)3+2(-2/3)(2/3)-(2/3)3+2=-16/27-8/9+2=14/27
擴(kuò)展資料
人們常常說的函數(shù)y=f(x),是因變量與一個(gè)自變量之間的關(guān)系,即因變量的值只依賴于一個(gè)自變量,稱為一元函數(shù)。
但在許多實(shí)際問題中往往需要研究因變量與幾個(gè)自變量之間的關(guān)系,即因變量的值依賴于幾個(gè)自變量。
例如,某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價(jià)格有關(guān),而且與消費(fèi)者的收入以及這種商品的其它代用品的價(jià)格等因素有關(guān),即決定該商品需求量的因素不止一個(gè)而是多個(gè)。要全面研究這類問題,就需要引入多元函數(shù)的概念。
參考資料來源:百度百科-多元函數(shù)
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