什么是多元函數(shù)的極值 如何快速地求多元函數(shù)的極值

多元函數(shù)的極值，多元函數(shù)的極值，這一步怎么來的？求多元函數(shù)極值，多元函數(shù)取極值的條件是什么？高數(shù)多元函數(shù)條件極值，多元函數(shù)極值。

本文導(dǎo)航

• 多元函數(shù)極值知識總結(jié)
• 如何快速地求多元函數(shù)的極值
• 二元函數(shù)求極值的方法
• 怎么判斷多元函數(shù)的極值及其求法
• 多元函數(shù)極值存在的充分條件
• 多元函數(shù)用定義判定極值

多元函數(shù)極值知識總結(jié)

V=xy·h→h=v/xy

S(x,y)=xy+2(xh+yh)=xy+2v(1/x+1/y)

?S/?x=y-2v/x2

?S/?y=x-2v/y2

駐點(diǎn)(?2v,?2v)、(0,0)舍去

?2S/?x2=4v/x3→A=2

?2S/?x?y=1 ; ;→B=1

?2S/?y2=4v/y3→C=2

A>0 B2-AC=1-4<0;駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)

取得極小值時(shí)長寬均=?(2v) 高=?(v/4)

如何快速地求多元函數(shù)的極值

:

各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù)為0，這是一個(gè)必要條件。充分條件是這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式為正定或負(fù)定的。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是半正定的則需要進(jìn)一步判斷三階行列式。如果這個(gè)多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的行列式是不定的，那么這時(shí)不是極值點(diǎn)。

二元函數(shù)求極值的方法

一、多元函數(shù)的極值及最大值與最小值：

定義：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)D，P0(x0,y0)為DD的內(nèi)點(diǎn)。若存在P0P0的某個(gè)鄰域U(P0)?DU(P0)?D。

若對于該鄰域內(nèi)異與P0P0的任何點(diǎn)(x,y)(x,y)，都有：

f(x,y)<f(x0,y0)

f(x,y)<f(x0,y0)

則稱函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)有極大值f(x0,y0)f(x0,y0)，點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)f(x,y)的極大值點(diǎn)；

若對于該鄰域內(nèi)異與P0P0的任何點(diǎn)(x,y)(x,y)，都有：

f(x,y)>f(x0,y0)

f(x,y)>f(x0,y0)

則稱函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)有極小值f(x0,y0)f(x0,y0)，點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)f(x,y)的極小值點(diǎn)；

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

定理1(必要條件)：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0)處有極值，則有

怎么判斷多元函數(shù)的極值及其求法

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x.,y.）的某鄰域內(nèi)有連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(x.,y.）,fy(x.,y.）=0,令

fxx(x.,y.)=A,fxy=(x.,y.）=B,fyy=(x.,y.）=C

則f(x,y)在（x.,y.）處是否取得極值的條件是

（1）AC-B*B>0時(shí)有極值

（2）AC-B*B

設(shè)D為一個(gè)非空的n 元有序數(shù)組的集合， f為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個(gè)有序數(shù)組 ( x1,x2,…,xn)∈D，通過對應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。

記為y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 變量x1,x2,…,xn稱為自變量，y稱為因變量。

多元函數(shù)的本質(zhì)是一種關(guān)系，是兩個(gè)集合間一種確定的對應(yīng)關(guān)系。這兩個(gè)集合的元素可以是數(shù)；也可以是點(diǎn)、線、面、體；還可以是向量、矩陣等等。

人們最常見的函數(shù)，以及目前我國中學(xué)數(shù)學(xué)教科書所說的“函數(shù)”，除有特別注明者外，實(shí)際上（全稱）是一元單值實(shí)變函數(shù)。

極值是變分法的一個(gè)基本概念。泛函在容許函數(shù)的一定范圍內(nèi)取得的最大值或最小值，分別稱為極大值或極小值，統(tǒng)稱為極值。

“極大值” 和 “極小值”的統(tǒng)稱。如果函數(shù)在某點(diǎn)的 值大于或等于在該點(diǎn)附近任何其他 點(diǎn)的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點(diǎn)的值 為函數(shù)的“極大值”。

多元函數(shù)極值存在的充分條件

答：

1、你的想法非常的好，而且也是對的，下面分析給你；

2、拉格朗日乘數(shù)法是必要條件法，而不是充分條件，這就是說，如果連續(xù)的多元函數(shù)可微且在連續(xù)區(qū)域內(nèi)存在極值點(diǎn)（最值點(diǎn)），那么其滿足拉格朗日乘數(shù)法，該方法本質(zhì)還是降元求極值法，由一元極值求法我們可知，如果駐點(diǎn)存在，有可能極值（最值）存在，如果駐點(diǎn)不存在，那么極值（最值）不一定不存在！同理，這個(gè)條件也適合多元函數(shù)；也就是說，拉格朗日乘數(shù)法求得的駐點(diǎn)，必須要驗(yàn)證；

3、微分中值定理，積分中值定理，介質(zhì)定理，零點(diǎn)定理，最值定理，在多元連續(xù)函數(shù)中也是成立的，而且這些定理才是定義多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)特征性定理，因此，如果拉格朗日乘數(shù)法計(jì)算出駐點(diǎn)后，實(shí)際上是必須要結(jié)合邊界點(diǎn)進(jìn)行判斷的，這個(gè)和一元函數(shù)沒有什么區(qū)別；

4、多元函數(shù)的微分中值定理，介質(zhì)定理，最值定理證明非常繁瑣，已經(jīng)超出了高數(shù)的要求，因此，對于拉格朗日乘數(shù)法的充分條件，高數(shù)中并沒有討論，但是，驗(yàn)證駐點(diǎn)和邊界點(diǎn)，這個(gè)要求也必須的，你的想法是沒有問題的；

5、因?yàn)槌V的問題，高數(shù)中所給的條件極值不可能出現(xiàn)不存在的情況，因此，在后續(xù)做題時(shí)，駐點(diǎn)是極值點(diǎn)可以一句話帶過，但是從知識的完備性考慮，邊界點(diǎn)不是極值點(diǎn)也可一句話帶過就行了！

多元函數(shù)用定義判定極值

求f(x,y)=x3+2xy-y3+2的極值，解：令?f/?x=3x2+2y=0.............①再令?f/?y=2x-3y2=0..................②由②得x=(3/2)y2；代入①式得 (27/4)y^4+2y=y[(27/4)y3+2]=0，故得：y?=0；y?=-2/3；相應(yīng)地，x?=0；x?=2/3；即有兩個(gè)駐點(diǎn)：M(0，0)；N(-2/3，2/3)。

再求兩駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)：A=?2f/?x2=6x； B=?2f/?x?y=2； C=?2f/?y2=-6y；M(0，0): A=0；B=2；C=0；B2-AC=4>0，故M不是極值點(diǎn)；N(-2/3，2/3): A=-4<0； B=2； C=-4； B2-AC=4-16=-12<0；故N是極大點(diǎn)。極大值f(x,y)=f(-2/3，2/3)=(-2/3)3+2(-2/3)(2/3)-(2/3)3+2=-16/27-8/9+2=14/27

擴(kuò)展資料

人們常常說的函數(shù)y=f(x)，是因變量與一個(gè)自變量之間的關(guān)系，即因變量的值只依賴于一個(gè)自變量，稱為一元函數(shù)。

但在許多實(shí)際問題中往往需要研究因變量與幾個(gè)自變量之間的關(guān)系，即因變量的值依賴于幾個(gè)自變量。

例如，某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價(jià)格有關(guān)，而且與消費(fèi)者的收入以及這種商品的其它代用品的價(jià)格等因素有關(guān)，即決定該商品需求量的因素不止一個(gè)而是多個(gè)。要全面研究這類問題，就需要引入多元函數(shù)的概念。

參考資料來源：百度百科-多元函數(shù)