泰勒公式需要記哪些 泰勒公式怎么證明呀

失翅的蝴蝶2023-03-06 09:28:031034

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泰勒公式講解大全

這是寫在紙上的八個常見的泰勒公式,泰勒公式是等號而不是等價,這就使所有函數(shù)轉化為冪函數(shù),在利用高階無窮小被低階吸收的原理,可以秒殺大部分極限題。

擴展資料:

泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數(shù)的函數(shù)f(x)利用關于(x-x0)的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f(x)在包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導數(shù),且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導數(shù),則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x,成立下式:其中,;;表示f(x)的n階導數(shù),等號后的多項式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項,是(x-x0)n的高階無窮小。

數(shù)學中,泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話,在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下,泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。

泰勒公式得名于英國數(shù)學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式,盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經發(fā)現(xiàn)了它的特例。拉格朗日在1797年之前,最先提出了帶有余項的現(xiàn)在形式的泰勒定理。

泰勒公式怎么證明呀

先背ex的,然后sinx和cosx一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的交錯項,然后根號下那個個人認為不用背,但最好記住它的前三項,有時候用泰勒展開式求極限會用到。ln(1+x)這個我根本就沒背,它就是1/1+x 級數(shù)的積分。所以背的不是5個,也就算背2個吧

幾個重要泰勒公式

常用的泰勒公式:e^x=1+x+x^2/2+x。

在數(shù)學中,泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話,在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下,泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。

以上內容解釋:

函數(shù)(function)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義,函數(shù)的兩個定義本質是相同的,只是敘述概念的出發(fā)點不同,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。

函數(shù)的近代定義是給定一個數(shù)集A,假設其中的元素為x,對A中的元素x施加對應法則f,記作f(x),得到另一數(shù)集B,假設B中的元素為y,則y與x之間的等量關系可以用y=f(x)表示,函數(shù)概念含有三個要素:定義域A、值域B和對應法則f。其中核心是對應法則f,它是函數(shù)關系的本質特征。

泰勒展開式秒殺高考題

泰勒公式記憶口訣:“e很規(guī)矩,拆為正余,加減交織,正偶余奇。n首無1,嘆號拿去,加減交織,其余同e”。泰勒公式得名于英國數(shù)學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式,盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經發(fā)現(xiàn)了它的特例。拉格朗日在1797年之前,最先提出了帶有余項的現(xiàn)在形式的泰勒定理。

泰勒公式怎么記憶

常用的泰勒公式只有六個具備口訣,具體如下:

1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3),這是泰勒公式的正弦展開公式,在求極限的時候可以把sinx用泰勒公式展開代替。

2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3),這是泰勒公式的反正弦展開公式,在求極限的時候可以把arcsinx用泰勒公式展開代替。

3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3),這是泰勒公式的正切展開公式,在求極限的時候可以把tanx用泰勒公式展開代替。

4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3),這是泰勒公式的反正切展開公式,在求極限的時候可以把arctanx用泰勒公式展開代替。

5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2),這是泰勒公式的ln(1+x)展開公式,在求極限的時候可以把ln(1+x)用泰勒公式展開代替。

6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2),這是泰勒公式的余弦展開公式,在求極限的時候可以把cosx用泰勒公式展開代替。

泰勒公式簡介:

18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學家泰勒(Brook Taylor),于1685年8月18日在英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市出生;1701年,泰勒進劍橋大學的圣約翰學院學習。

1709年后移居倫敦,獲得法學學士學位。

1712年當選為英國皇家學會會員,同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分優(yōu)先權爭論的委員會。并于兩年后獲法學博士學位。

從1714年起擔任皇家學會第一秘書,1718年以健康為由辭去這一職務。

1717年,他以泰勒定理求解了數(shù)值方程,最后在1731年12月29日于倫敦逝世。

泰勒以微積分學中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世,這條定理大致可以敘述為:函數(shù)在一個點的鄰域內的值可以用函數(shù)在該點的值及各階導數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來,然而,在半個世紀里,數(shù)學家們并沒有認識到泰勒定理的重大價值,這一重大價值是后來由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的,他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。

八個常見的泰勒公式

公式如下圖:

對于滿足適當可微性條件的函數(shù),可以用多項式近似地表示這個函數(shù)。用多項式近似地表示函數(shù)的公式稱為泰勒公式,并且根據余項表達式的不同而有不同的形式。得名于英國數(shù)學家布魯克·泰勒,他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式。

在高等數(shù)學的理論研究及應用實踐中,泰勒公式有著十分重要的應用,簡單歸納如下 :

(1)應用泰勒中值定理(泰勒公式)可以證明中值等式或不等式命題。

(2)應用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。

(3)應用泰勒公式可以進行更加精密的近似計算。

(4)應用泰勒公式可以求解一些極限。

(5)應用泰勒公式可以計算高階導數(shù)的數(shù)值。

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