極限的唯一性是什么 證明函數(shù)極限存在的充分條件

函數(shù)極限唯一性理解有問(wèn)題，極限有唯一性質(zhì)嗎？什么意思呢？關(guān)于函數(shù)極限唯一性，極限的唯一性是什么意思？極限唯一性的證明是什么？怎么理解函數(shù)極限唯一性？每一個(gè)點(diǎn)不是都可以有一個(gè)極限嗎？函數(shù)正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮可以有兩個(gè)極限??？

本文導(dǎo)航

• 證明函數(shù)極限存在的充分條件
• 極限是怎樣的概念
• 函數(shù)極限左右存在的條件
• 極限的定義深度解析
• 怎么證明極限存在
• 如何用定義證明函數(shù)的極限

證明函數(shù)極限存在的充分條件

極限的唯一性指的是：在某一個(gè)點(diǎn)處只能有一個(gè)極限。另一個(gè)點(diǎn)當(dāng)然可以存在極限，它的極限也是唯一的，很多點(diǎn)都可能有極限，但是這個(gè)點(diǎn)只要一確定，極限也是確定的，不可能出現(xiàn)同一個(gè)點(diǎn)處兩個(gè)極限。

希望可以幫到你，不明白可以追問(wèn)，如果解決了問(wèn)題，請(qǐng)點(diǎn)下面的"選為滿(mǎn)意回答"按鈕，謝謝。

極限是怎樣的概念

1、極限存在時(shí)，就唯一；

2、極限不存在時(shí)，就不唯一：

A、如果左右極限不相等，就有兩個(gè)極限；

B、如果是多元函數(shù)，就有無(wú)數(shù)個(gè)極限；

C、極限為無(wú)窮大時(shí)，其實(shí)是不存在的，但是我們又自欺欺人地說(shuō)極限等于無(wú)窮大。

這是我們矛盾的地方，一方面說(shuō)極限為無(wú)窮大，極限不存在；另一方面，既然

不存在，又寫(xiě)成極限等于無(wú)窮大。大家默認(rèn)了這個(gè)矛盾說(shuō)法，也就見(jiàn)怪不怪了。

3、極限是趨勢(shì)，是 tendency，是 trend，跟定義可能毫無(wú)關(guān)系，經(jīng)常是沒(méi)有定義。

例如，sinx/x，x不可以等于0，但是sinx/x在x趨向于0時(shí)的極限是存在的，是1。

所以，“那有沒(méi)有極限在領(lǐng)域中處處有定義這句話(huà)呀？” 沒(méi)有這樣的說(shuō)法。

函數(shù)極限左右存在的條件

唯一，如果不唯一就不能稱(chēng)之為極限。一般來(lái)說(shuō)，只有某一特定的點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)左右極限不一致的情況，那樣極限就不存在，也可以理解為極限不唯一。所謂不唯一，不是說(shuō)有兩個(gè)，而是說(shuō)連一個(gè)都沒(méi)有。唯一性是性質(zhì)，就是說(shuō)只要極限存在，就是唯一的，不可以能有多個(gè)的，如果有左右極限，不一致，那也不是有兩個(gè)極限，而是沒(méi)有極限。而趨于正無(wú)窮，要不就是沒(méi)極限（也就是極限趨于無(wú)窮），要不就是只有一個(gè)極限，也一樣不可能有兩個(gè)及兩個(gè)以上的極限.

極限的定義深度解析

簡(jiǎn)單分析一下即可，答案如圖所示

怎么證明極限存在

證明：

假設(shè)存在a，b兩個(gè)數(shù)都是函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。的極限，且a<b，任意給定ε>0。

總存在一個(gè)δ1>0，當(dāng)0<丨x-x。丨<δ1時(shí)，使得丨f（x）-a丨<ε成立。

上面的不等式可以等價(jià)變換為a-ε<f（x）<a+ε和b-ε<f（x）<b+ε。

b-ε≤a+ε，移項(xiàng)得：（b-a）/2≤ε，因?yàn)椋╞-a）/2是一個(gè)確定大小的正數(shù)，所以這個(gè)結(jié)論與極限的定義：ε可以任意小矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在a，b兩個(gè)數(shù)都是f（x）的極限，除非a=b矛盾才不會(huì)出現(xiàn)。

N的相應(yīng)性　

一般來(lái)說(shuō)，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫(xiě)作N(ε)，以強(qiáng)調(diào)N對(duì)ε的變化而變化的依賴(lài)性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么顯然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

如何用定義證明函數(shù)的極限

函數(shù)極限唯一指的是函數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的極限只有一個(gè)。

然后就像你說(shuō)的每個(gè)點(diǎn)都可能存在一個(gè)極限，但是每個(gè)點(diǎn)就算有極限也只能有一個(gè)極限。

函數(shù)正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮是兩個(gè)極限，正無(wú)窮的極限是唯一的，負(fù)無(wú)窮的極限也是唯一的，這就是函數(shù)極限的唯一性。

搞好數(shù)學(xué)的方法：

1、數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科一樣，也是有很多概念性的東西，學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就是明白定義到底說(shuō)的是什么。

比如數(shù)學(xué)中的平方，立方，絕對(duì)值的含義。我們知道平方就是兩個(gè)相同的數(shù)相乘，當(dāng)然立方就是三個(gè)相同的數(shù)相乘，絕對(duì)值就是大于或者等于0的數(shù)值，明白了定義的真正含義，也就走出了第一步，為后面的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2、數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科不同之處就是不需要死記硬背，因?yàn)閿?shù)學(xué)不考試問(wèn)答題，而是計(jì)算這是最大的不同。怎么實(shí)踐呢，具體的說(shuō)一下。

數(shù)學(xué)的許多題都是從定義出發(fā)的，前面我說(shuō)過(guò)，定義明白了，也就好下手了。比如合并同類(lèi)項(xiàng)，先想定義，就是同類(lèi)的項(xiàng)，簡(jiǎn)單點(diǎn)就是都有的那個(gè)東西，明白了定義，然后下手做題，當(dāng)然就事半功倍了。

3、前面我說(shuō)過(guò)。數(shù)學(xué)不是背出來(lái)的，是用筆桿子算出來(lái)的。所以針對(duì)一個(gè)公式或者一個(gè)定義，只有把關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的題目多做上幾道，自然的就運(yùn)用和真正理解了其中的意義。

因此對(duì)于數(shù)學(xué)，一定不要偷懶，只看不算，只有多動(dòng)腦，多動(dòng)手，這樣才會(huì)更加靈活的學(xué)好數(shù)學(xué)。