極限的唯一性是什么 證明函數(shù)極限存在的充分條件
函數(shù)極限唯一性理解有問(wèn)題,極限有唯一性質(zhì)嗎?什么意思呢?關(guān)于函數(shù)極限唯一性,極限的唯一性是什么意思?極限唯一性的證明是什么?怎么理解函數(shù)極限唯一性?每一個(gè)點(diǎn)不是都可以有一個(gè)極限嗎?函數(shù)正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮可以有兩個(gè)極限???
本文導(dǎo)航
證明函數(shù)極限存在的充分條件
極限的唯一性指的是:在某一個(gè)點(diǎn)處只能有一個(gè)極限。另一個(gè)點(diǎn)當(dāng)然可以存在極限,它的極限也是唯一的,很多點(diǎn)都可能有極限,但是這個(gè)點(diǎn)只要一確定,極限也是確定的,不可能出現(xiàn)同一個(gè)點(diǎn)處兩個(gè)極限。
希望可以幫到你,不明白可以追問(wèn),如果解決了問(wèn)題,請(qǐng)點(diǎn)下面的"選為滿(mǎn)意回答"按鈕,謝謝。
極限是怎樣的概念
1、極限存在時(shí),就唯一;
2、極限不存在時(shí),就不唯一:
A、如果左右極限不相等,就有兩個(gè)極限;
B、如果是多元函數(shù),就有無(wú)數(shù)個(gè)極限;
C、極限為無(wú)窮大時(shí),其實(shí)是不存在的,但是我們又自欺欺人地說(shuō)極限等于無(wú)窮大。
這是我們矛盾的地方,一方面說(shuō)極限為無(wú)窮大,極限不存在;另一方面,既然
不存在,又寫(xiě)成極限等于無(wú)窮大。大家默認(rèn)了這個(gè)矛盾說(shuō)法,也就見(jiàn)怪不怪了。
3、極限是趨勢(shì),是 tendency,是 trend,跟定義可能毫無(wú)關(guān)系,經(jīng)常是沒(méi)有定義。
例如,sinx/x,x不可以等于0,但是sinx/x在x趨向于0時(shí)的極限是存在的,是1。
所以,“那有沒(méi)有極限在領(lǐng)域中處處有定義這句話(huà)呀?” 沒(méi)有這樣的說(shuō)法。
函數(shù)極限左右存在的條件
唯一,如果不唯一就不能稱(chēng)之為極限。一般來(lái)說(shuō),只有某一特定的點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)左右極限不一致的情況,那樣極限就不存在,也可以理解為極限不唯一。所謂不唯一,不是說(shuō)有兩個(gè),而是說(shuō)連一個(gè)都沒(méi)有。唯一性是性質(zhì),就是說(shuō)只要極限存在,就是唯一的,不可以能有多個(gè)的,如果有左右極限,不一致,那也不是有兩個(gè)極限,而是沒(méi)有極限。而趨于正無(wú)窮,要不就是沒(méi)極限(也就是極限趨于無(wú)窮),要不就是只有一個(gè)極限,也一樣不可能有兩個(gè)及兩個(gè)以上的極限.
極限的定義深度解析
簡(jiǎn)單分析一下即可,答案如圖所示
怎么證明極限存在
證明:
假設(shè)存在a,b兩個(gè)數(shù)都是函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。的極限,且a<b,任意給定ε>0。
總存在一個(gè)δ1>0,當(dāng)0<丨x-x。丨<δ1時(shí),使得丨f(x)-a丨<ε成立。
上面的不等式可以等價(jià)變換為a-ε<f(x)<a+ε和b-ε<f(x)<b+ε。
b-ε≤a+ε,移項(xiàng)得:(b-a)/2≤ε,因?yàn)椋╞-a)/2是一個(gè)確定大小的正數(shù),所以這個(gè)結(jié)論與極限的定義:ε可以任意小矛盾,所以假設(shè)不成立,因此不存在a,b兩個(gè)數(shù)都是f(x)的極限,除非a=b矛盾才不會(huì)出現(xiàn)。
N的相應(yīng)性
一般來(lái)說(shuō),N隨ε的變小而變大,因此常把N寫(xiě)作N(ε),以強(qiáng)調(diào)N對(duì)ε的變化而變化的依賴(lài)性。但這并不意味著N是由ε唯一確定的:(比如若n>N使|xn-a|<ε成立,那么顯然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立)。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。
如何用定義證明函數(shù)的極限
函數(shù)極限唯一指的是函數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的極限只有一個(gè)。
然后就像你說(shuō)的每個(gè)點(diǎn)都可能存在一個(gè)極限,但是每個(gè)點(diǎn)就算有極限也只能有一個(gè)極限。
函數(shù)正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮是兩個(gè)極限,正無(wú)窮的極限是唯一的,負(fù)無(wú)窮的極限也是唯一的,這就是函數(shù)極限的唯一性。
搞好數(shù)學(xué)的方法:
1、數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科一樣,也是有很多概念性的東西,學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就是明白定義到底說(shuō)的是什么。
比如數(shù)學(xué)中的平方,立方,絕對(duì)值的含義。我們知道平方就是兩個(gè)相同的數(shù)相乘,當(dāng)然立方就是三個(gè)相同的數(shù)相乘,絕對(duì)值就是大于或者等于0的數(shù)值,明白了定義的真正含義,也就走出了第一步,為后面的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
2、數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科不同之處就是不需要死記硬背,因?yàn)閿?shù)學(xué)不考試問(wèn)答題,而是計(jì)算這是最大的不同。怎么實(shí)踐呢,具體的說(shuō)一下。
數(shù)學(xué)的許多題都是從定義出發(fā)的,前面我說(shuō)過(guò),定義明白了,也就好下手了。比如合并同類(lèi)項(xiàng),先想定義,就是同類(lèi)的項(xiàng),簡(jiǎn)單點(diǎn)就是都有的那個(gè)東西,明白了定義,然后下手做題,當(dāng)然就事半功倍了。
3、前面我說(shuō)過(guò)。數(shù)學(xué)不是背出來(lái)的,是用筆桿子算出來(lái)的。所以針對(duì)一個(gè)公式或者一個(gè)定義,只有把關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的題目多做上幾道,自然的就運(yùn)用和真正理解了其中的意義。
因此對(duì)于數(shù)學(xué),一定不要偷懶,只看不算,只有多動(dòng)腦,多動(dòng)手,這樣才會(huì)更加靈活的學(xué)好數(shù)學(xué)。
掃描二維碼推送至手機(jī)訪(fǎng)問(wèn)。
版權(quán)聲明:本文由尚恩教育網(wǎng)發(fā)布,如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。