可導(dǎo)等價(jià)是指什么 可導(dǎo)但是導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

可導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)存在等價(jià)嗎？大學(xué)高數(shù)中可微，可積，可導(dǎo)的詳細(xì)區(qū)別與聯(lián)系是什么？函數(shù)的可導(dǎo)和可微是等價(jià)的嗎？可導(dǎo)，可微，可積分別是什么意思？可微的定義是什么？可導(dǎo)的定義是什么？為什么一元函數(shù)可微和可導(dǎo)是等價(jià)的？可微和可導(dǎo)有什么區(qū)別？

本文導(dǎo)航

• 可導(dǎo)但是導(dǎo)數(shù)不連續(xù)
• 大學(xué)高數(shù)公式定理大全
• 函數(shù)可導(dǎo)指的是處處可導(dǎo)嗎
• 可導(dǎo)可微與連續(xù)的關(guān)系圖解
• 可微和可導(dǎo)的通俗理解
• 可微與可導(dǎo)的區(qū)別舉個(gè)例子吧

可導(dǎo)但是導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

等價(jià)的。可導(dǎo)就是可以求導(dǎo)數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)必存在。反之也成立。

大學(xué)高數(shù)公式定理大全

　　高等數(shù)學(xué)中有這么一句話，高數(shù)可微則必可導(dǎo)，這就意味著可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，可導(dǎo)就意味著可微，可微就意味著可導(dǎo)。

而積分根據(jù)其幾何意義來(lái)看，函數(shù)連續(xù)則函數(shù)一定是可以積分的，因?yàn)樗膸缀我饬x是與它與坐標(biāo)軸圍城的面積是相關(guān)的，因此函數(shù)連續(xù)則函數(shù)必定可積。

函數(shù)可導(dǎo)指的是處處可導(dǎo)嗎

是等價(jià)的,具體說(shuō),函數(shù)z=u+iv在一點(diǎn)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.柯西黎曼條件是說(shuō)這個(gè)函數(shù)的實(shí)部和虛部構(gòu)成的實(shí)函數(shù)要可微（可導(dǎo)）,并不是這個(gè)復(fù)變函數(shù)本身可微,別弄混了。

函數(shù)的定義：給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x?，F(xiàn)對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B。假設(shè)B中的元素為y。則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示。我們把這個(gè)關(guān)系式就叫函數(shù)關(guān)系式，簡(jiǎn)稱函數(shù)。函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

函數(shù)（function），最早由中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》。之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，或者說(shuō)一個(gè)量中包含另一個(gè)量。函數(shù)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。

可導(dǎo)可微與連續(xù)的關(guān)系圖解

可導(dǎo)，即設(shè)y=f(x)是一個(gè)單變量函數(shù)， 如果y在x=x0處左右導(dǎo)數(shù)分別存在且相等,則稱y在x=x[0]處可導(dǎo)。如果一個(gè)函數(shù)在x0處可導(dǎo)，那么它一定在x0處是連續(xù)函數(shù)。

可微，設(shè)函數(shù)y= f(x)，若自變量在點(diǎn)x的改變量Δx與函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可微，并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當(dāng)x= x0時(shí)，則記作dy∣x=x0。

可積，設(shè)是定義在區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任意的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任何分割，以及在其上任意選擇的點(diǎn)集，只要，就有，則稱在區(qū)間上可積或黎曼可積。

擴(kuò)展資料：

可導(dǎo)，即設(shè)y=f(x)是一個(gè)單變量函數(shù)， 如果y在x=x0處左右導(dǎo)數(shù)分別存在且相等,則稱y在x=x[0]處可導(dǎo)。如果一個(gè)函數(shù)在x0處可導(dǎo)，那么它一定在x0處是連續(xù)函數(shù)。

可微，設(shè)函數(shù)y= f(x)，若自變量在點(diǎn)x的改變量Δx與函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可微，并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當(dāng)x= x0時(shí)，則記作dy∣x=x0。

可微=>可導(dǎo)=>連續(xù)=>可積，在一元函數(shù)中，可導(dǎo)與可微等價(jià)。

函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)的充要條件為f(x0)=lim(x→x0)f(x)，即函數(shù)在此點(diǎn)函數(shù)值存在，并且等于此點(diǎn)的極限值

若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)。可導(dǎo)的充要條件是此函數(shù)在此點(diǎn)必須連續(xù)，并且左導(dǎo)數(shù)等于右倒數(shù)。

可微在一元函數(shù)中與可導(dǎo)等價(jià)，在多元函數(shù)中,各變量在此點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在為其必要條件，其充要條件還要加上在此函數(shù)所表示的廣義面中在此點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)不含有“洞”存在，可含有有限個(gè)斷點(diǎn)。

函數(shù)可積只有充分條件為：

①函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)

②在區(qū)間上不連續(xù),但只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn)）上述條件實(shí)際上為黎曼可積條件，可以放寬，所以只是充分條件。

可導(dǎo)和可微,是一樣的。

可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo)。

連續(xù)必可積,可積不一定連續(xù)。

可積必有界,可界不一定可積。

函數(shù)可導(dǎo)的條件：

如果一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即函數(shù)在其上都有定義，那么該函數(shù)是不是在定義域上處處可導(dǎo)呢？答案是否定的。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，不能證明這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在。只有左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，并且在該點(diǎn)連續(xù)，才能證明該點(diǎn)可導(dǎo)。

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

必要條件

若函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；

若二元函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)必存在。

充分條件

若函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)都存在，且均在這點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在這點(diǎn)可微。

參考資料：百度百科——可微

參考資料：百度百科——可導(dǎo)

參考資料：百度百科——可積函數(shù)

可微和可導(dǎo)的通俗理解

可微：y= f(x)，Δy=A×Δx+ο(Δx)

可導(dǎo)：可導(dǎo)代表這個(gè)極限存在，顯然若函數(shù)可微，則導(dǎo)數(shù)存在且為A。

若函數(shù)可導(dǎo)則dy=A×Δx,Δy=A×Δx+ο(Δx)。

所以可微和可導(dǎo)等價(jià)。

可微與可導(dǎo)的區(qū)別舉個(gè)例子吧

一、關(guān)系不同：

一元函數(shù)中可導(dǎo)與可微等價(jià)，它們與可積無(wú)關(guān)。 多元函數(shù)可微必可導(dǎo)，而反之不成立。即：在一元函數(shù)里，可導(dǎo)是可微的充分必要條件；在多元函數(shù)里，可導(dǎo)是可微的必要條件，可微是可導(dǎo)的充分條件。

二、含義不同：

可微：設(shè)函數(shù)y= f(x)，若自變量在點(diǎn)x的改變量Δx與函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可微，并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當(dāng)x= x0時(shí)，則記作dy∣x=x0。

可導(dǎo)：即設(shè)y=f(x)是一個(gè)單變量函數(shù)， 如果y在x=x0處左右導(dǎo)數(shù)分別存在且相等,則稱y在x=x[0]處可導(dǎo)。如果一個(gè)函數(shù)在x0處可導(dǎo)，那么它一定在x0處是連續(xù)函數(shù)。

可微條件

必要條件

若函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；

若二元函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)必存在。

充分條件

若函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)都存在，且均在這點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在這點(diǎn)可微。

以上內(nèi)容參考：百度百科-可微