冪級數的腳標怎么變化 冪級數里n的變化

盤螭2022-08-22 14:08:012655

請教一道冪級數的題,劃線的部分看不明白是如何變形的?冪級數里n的變化,請問冪級數展開公式,級數求導下標要變嗎?請教一下有關冪級數的下標和上標的變化的規(guī)律。

本文導航

請教一道冪級數的題,劃線的部分看不明白是如何變形的

注意n的下標的變化,參考下圖:

冪級數里n的變化

先說前一個級數表達式,不考慮系數1/3

當n=0時,[(-1)^(n+1)+1/(2^n)]x^n=(-1+1)x^0=0,所以這個級數的首項為0,實際上級數是從n=1開始第一項。

再說第二個表達式:

如果令k=n+1,通項變?yōu)閇(-1)^(k-1)+1/(2^k)]x^k【注意此處: (-1)^(k-1)=(-1)^(k+1)】

當把k 換為n時,通項與第一個表達式完全相同,而n從0到無窮,就是k從1到無窮。

用第二種形式表示f(x)是為了讓級數的首項不等于0.

冪級數萬能公式

可以,注意使用條件。

比如e^x

1收斂域

2展開式,特別注意展開式的系數求法。

3注意抽象展開和具體展開的區(qū)別

4注意對原式求導之后,收斂區(qū)間不變但收斂域可能變化,變化在于區(qū)間端點。

5注意冪級數展開式參數項取值對級數收斂性的影響。

6注意級數展開式的特點,以及如何化成函數式。

7注意級數積分的運算原則

8注意收斂域,收斂半徑具體公式的寫法

9注意累加號下標和參數冪的增減關系

10注意級數積分或求導后冪級數的指數變化規(guī)律

11注意與微分方程的聯系

12注意差項與一般項級數的轉化

13注意先導后積或者先積后導的特征

14注意正項級數交錯級數無窮項級數的辨別

15注意三者判斂的聯系與區(qū)別

16注意e^x與e^(_x)求導的特殊性

17注意與基本初等函數性質的聯系與區(qū)別

18注意與拉格朗日公式的聯系與區(qū)別

19注意與等價無窮小的聯系與區(qū)別

20注意與數列運算的聯系與區(qū)別

21注意理解冪級數展開式與定積分的聯系

22注意參數的抽離

無窮級數求和能求導嗎

冪級數求導時下標要變,其他的看情況而定。

請教一下有關冪級數的下標和上標的變化的規(guī)律

這個一般的輔導書上都有講的吧,很容易摸著規(guī)律了。

根本原則是:下標和冪變換前后級數要相等,其實你自己把變換前后的前2項寫出來,看是不是相等就找到規(guī)律了。

一共就三種變換:(以Σ

x^2n

為例,并假定下標都從0開始)

(1)

比如

Σ

x^2n

乘以x

下標不變,n-1

級數變成Σ

x^(2n-1);乘以1/x,下標不變

n+1

級數變成Σ

x^(2n+1);

(2)

Σ

x^2n

直接變成

Σ

x^(2n-1),下標+1;

Σ

x^2n

直接變成

Σ

x^(2n+1),下標-1;

(3)

提取

Σ

x^2n

中的前幾項到

求和號

Σ

前面,下標就減去幾。

陳文燈那本《100問專題串講》總結的不錯,你若有機會可以看看。在49頁。

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