二次型的標(biāo)準(zhǔn)型怎么求 初等變換法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

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本文導(dǎo)航

• 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法總結(jié)
• 請(qǐng)教二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的方法
• 求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型
• 用配方法，求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型
• 初等變換法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法總結(jié)

構(gòu)造上下兩塊的分塊矩陣

A

E

對(duì)其作初等列變換, 同時(shí)對(duì)前n行作相應(yīng)的初等行變換.

將上半塊化成對(duì)角矩陣, 下半塊即為所求的變換矩陣C.

例: http://zhidao.baidu.com/question/278997473.html

請(qǐng)教二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的方法

1. 含平方項(xiàng)的情形

用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3為標(biāo)準(zhǔn)形

解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3

--把含x1的集中在第一個(gè)平方項(xiàng)中, 后面多退少補(bǔ)

= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3

--然后同樣處理含x2的項(xiàng)

= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2

2. 不含平方項(xiàng)的情形

比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3

令 x1=y1+y2, x2=y1-y2

代入后就有了平方項(xiàng), 繼續(xù)按第一種情形處理

3. 特征值方法

寫出二次型的矩陣

求出矩陣的特征值

求出相應(yīng)的特征向量

這部分比較麻煩, 你找本教材看看例題吧

求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

如果矩陣C的行列式|C|=0

那么y=Cx，就不是坐標(biāo)變換，當(dāng)然得到的y的表達(dá)式就不是標(biāo)準(zhǔn)型。

一定要注意坐標(biāo)變換的矩陣為 【可逆矩陣】

newmanhero 2015年4月4日23:22:18

希望對(duì)你有所幫助，望采納。

用配方法，求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

二次型坐標(biāo)變換的矩陣有很多，得到的標(biāo)準(zhǔn)型是不唯一的。

只有二次型的規(guī)范型是唯一的。

規(guī)范型只和二次型矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)有關(guān)。

通過配方法得到的可逆矩陣，往往不是正交矩陣，所以不滿足正交變換的公式。

換句話說就是你用一個(gè)方法得到的一個(gè)矩陣，放在另一個(gè)方法的公式里去驗(yàn)證另一個(gè)，當(dāng)然結(jié)果不滿足了。

你的求解過程是正確的。

newmanhero 2015年4月4日23:28:30

希望對(duì)你有所幫助，望采納。

初等變換法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

正交變換和配方法

正交變換：

求出a的所有特征值和特征向量

將特征向量單位正交化

由這些特征向量組成的矩陣q就可以將a對(duì)角化，二次型就化為標(biāo)準(zhǔn)型了

配方法：

就按照完全平方公式配方。但結(jié)果不一定能正交（保持圖形不變）