極坐標(biāo)的積分怎么計算 極坐標(biāo)定積分上下限怎么求

山中怪人2022-08-10 08:05:551107

使用極坐標(biāo)簡化定積分計算,極坐標(biāo)的定積分如何求?極坐標(biāo)系求定積分問題,求詳解,極坐標(biāo)方程求其圍成的面積用定積分怎么表示,例如ρ=aθ?這個極坐標(biāo)積分是怎么算出來的?極坐標(biāo)積分是什么?

本文導(dǎo)航

極坐標(biāo)定積分上下限怎么求

將x=rcosθ,y=rsinθ替換x,y

然后再添加rdrdθ。就是替換后的表達(dá)式,即:

∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rsinθ,rsinθ)rdrdθ

然后是積分區(qū)域的替換,畫出直角坐標(biāo)的形式,利用邊界,

對應(yīng)找出r,θ的范圍。和x,y的表示一樣,第一層必須是不含變量的!

極坐標(biāo)積分求面積的步驟

關(guān)鍵是如何寫出極坐標(biāo)(以及柱坐標(biāo))的定積分的算式,記住每個情況的

雅科比,有了算式,計算與直角坐標(biāo)系完全相同。

高數(shù)極坐標(biāo)系求積分

如圖

極坐標(biāo)求積分怎么算

(x-a)2+y2=a2x2+y2=2ax

定積分應(yīng)用面積根據(jù)極坐標(biāo)系下r>=0解出θ范圍即為積分區(qū)間,然后代入極坐標(biāo)面積微元公式進(jìn)行定積分即可。

面積為πa^2。

求解如下:

因為ρ=2acosθ,所以cosθ=ρ/2a>=0

所以θ的取值范圍是(-π/2,π/2)

則圍成的面積為:

S=∫1/2*ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ

因為積分范圍是(-π/2,π/2),所以有:

S=a^2+1/2a^2sin2θ

=a^2*[(0+π/2)-(0-π/2)]

=πa^2

所以曲線ρ=2acosθ所圍成圖形的面積為πa^2。

擴展資料:

坐標(biāo)表示按逆時針方向坐標(biāo)距離0°射線(有時也稱作極軸)的角度,極軸就是在平面直角坐標(biāo)系中的x軸正方向。

比如,極坐標(biāo)中的(3, 60°)表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。(?3, 240°)和(3, 60°)表示了同一點,因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方(240° ? 180° = 60°)。

參考資料來源:百度百科-極坐標(biāo)方程

極坐標(biāo)和三重積分的轉(zhuǎn)化公式

作代換:ρ = 2a sinφ

dρ = 2a cosφ

原積分 = ∫ [-pi/4, 0] dθ ∫ [0, -θ] 4a^2 sin^2φ dφ

= ∫ [-pi/4, 0] dθ ∫ [0, -θ] 4a^2 (1/2)(1-cos2φ) dφ

= ∫ [-pi/4, 0] a^2(2φ-sin2φ)| [0, -θ] dθ

= ∫ [-pi/4, 0] a^2(-2θ+sin2θ) dθ

= a^2 [-θ^2 - (1/2)cos2θ] | [-pi/4, 0]

= a^2 [pi^2/16 - 1/2]

極坐標(biāo)幾何意義

極坐標(biāo)系里的二重積分r是指極坐標(biāo)的極徑,表示平面坐標(biāo)點到原點的距離。

在極坐標(biāo)系下計算二重積分,需將被積函數(shù)f(x,y),積分區(qū)域D以及面積元素dσ都用極坐標(biāo)表示。函數(shù)f(x,y)的極坐標(biāo)形式為f(rcosθ,rsinθ)。

二重積分注意:

如果函數(shù)f(x)在點a的任一鄰域內(nèi)都無界,那么點a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(無界間斷點)。無界函數(shù)的反常積分也稱作瑕積分。與定積分的聯(lián)系:在計算定積分時,需要注意在積分區(qū)間內(nèi)是否存在瑕點。若存在,拆分區(qū)間段。

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