偏導(dǎo)連續(xù)為什么可微 高等數(shù)學(xué)常用導(dǎo)數(shù)公式

盼一舊2022-08-05 11:03:311884

若偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則可微分,為什么?為什么偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一定可微?為什么多元函數(shù)的x,y偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)就可微?偏導(dǎo)連續(xù)與可微的關(guān)系,偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是可微的什么條件?高等數(shù)學(xué):連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)就是可微。

本文導(dǎo)航

偏導(dǎo)數(shù)可微性判斷

這個多元函數(shù)(0,0)點(diǎn)是可微的啊。兩個偏導(dǎo)都在(0,0)點(diǎn)連續(xù)。明顯可微。從mathematica的圖上看(0,0)點(diǎn)也不是奇點(diǎn)。所以為什么不可微?

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)為什么不能等于0

就是這么規(guī)定的

多元函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)有必要聯(lián)系嗎

為什么偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分不必要條件:

1、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微分充分條件,但不是必要條件。

2、比如下面這個函數(shù)f(x,y),函數(shù)的表達(dá)式為當(dāng)x,y均為有理數(shù)時f(x,y)=x^2+y^2;當(dāng)x,y中有一個變量為無理數(shù)時f(x,y)=0。

3、考慮這個函數(shù)在(0,0)處的微分,顯然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a,其中a的表達(dá)式為:當(dāng)⊿x,⊿y都是有理數(shù)時,a=⊿x^2+⊿y^2;當(dāng)⊿x,⊿y中有一個無理數(shù)時a=0。

4、所以a為√⊿x^2+⊿y^2的高階無窮小,這也就說明了函數(shù)f(x,y)在(0,0)是可微的。

5、根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可以證明函數(shù)f在(0,0)處對于x和y的偏導(dǎo)數(shù)都等于0。

6、在除(0,0)以外的所有有理數(shù)組點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都是不存在的,因?yàn)楫?dāng)x,y為有理數(shù),⊿x以無理數(shù)方向趨于0時,⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2,所以⊿f/⊿x的極限不存在。

7、所以f在(0,0)的任意一個領(lǐng)域內(nèi)導(dǎo)數(shù)不滿足連續(xù)條件,但f可微,所以那只是充分而非必要條件。

8、可微必定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在;連續(xù)未必偏導(dǎo)數(shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在也未必連續(xù);連續(xù)未必可微,偏導(dǎo)數(shù)存在也未必可微;偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分不必要條件。

偏導(dǎo)連續(xù)但不可微的例子

偏導(dǎo)連續(xù)(連續(xù)可偏導(dǎo))則一定可微,偏導(dǎo)不連續(xù)不一定不可微,因?yàn)槠珜?dǎo)連續(xù)是可微的充分條件而非必要

1.5偏導(dǎo)連續(xù)可微關(guān)系

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的充分必要條件是什么

充分不必要條件,即:偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)則函數(shù)可微,函數(shù)可微推不出偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。

1、若二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)某點(diǎn)可微,則二元函數(shù)f在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在,反過來則不一定成立。

2、若二元函數(shù)函數(shù)f在其定義域內(nèi)的某點(diǎn)可微,則二元函數(shù)f在該點(diǎn)連續(xù),反過來則不一定成立。

3、二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)某點(diǎn)是否連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)是否存在無關(guān)。

4、可微的充要條件:函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在且連續(xù),則二元函數(shù)f在該點(diǎn)可微。

擴(kuò)展資料:

判斷可導(dǎo)、可微、連續(xù)的注意事項(xiàng):

1、在一元的情況下,可導(dǎo)=可微->連續(xù),可導(dǎo)一定連續(xù),反之不一定。

2、二元就不滿足以上的結(jié)論,在二元的情況下:

(1)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),函數(shù)可微,函數(shù)連續(xù)。

(2)偏導(dǎo)數(shù)不存在,函數(shù)不可微,函數(shù)不一定連續(xù)。

(3)函數(shù)不可微,偏導(dǎo)數(shù)不一定存在,函數(shù)不一定連續(xù)。

(4)函數(shù)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不一定存在,函數(shù)不一定可微。

(5)函數(shù)不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不一定存在,函數(shù)不可微。

高等數(shù)學(xué)常用導(dǎo)數(shù)公式

函數(shù)有連續(xù)的

偏導(dǎo)數(shù)

則必定

可微

,可微卻不一定有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),

例如函數(shù)f(x,y)處處可微,但它的偏導(dǎo)數(shù)卻不是

連續(xù)函數(shù)

。

f(x,y)的表達(dá)式如下:

當(dāng)xy≠0時,(x^2)*sin(1/x)+(y^2)*sin(1/y)

當(dāng)x≠0,y=0時,(x^2)*sin(1/x)

當(dāng)x=0,y≠0時,(y^2)*sin(1/y)

當(dāng)x=y=0時,0

可以驗(yàn)證,這個函數(shù)在原點(diǎn)處可微,但兩個偏導(dǎo)函數(shù)在原點(diǎn)處都不連續(xù)。

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