反常積分是什么 反常積分有什么符號

淡墨青衫2022-07-27 20:12:432023

什么是反常積分?反常積分在什么時候取極限?“反常積分絕對收斂”是什么意思?反常積分的斂散性是什么?反常積分收斂判別口訣是什么?

本文導航

反常積分有什么符號

沒有什么定義,非初等積分都可稱為反常積分,絕大多數(shù)積分都是非初等積分

反常積分的幾個公式

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1、所謂反常積分,反常是指 improper,英語的意思是在未積分之前,

將上、下限分別代入被積函數(shù),出現(xiàn)無窮大的情況。這樣就有了:

第一種可能:就是無窮型間斷點的情況;

第二種可能:就是當x趨向于正無窮大、或負無窮大,因為無窮大

不是一個具體的數(shù),靠取極限判斷---這是一種取極限的情況。

第一種可能下的積分,我們稱為瑕積分;

第二種情況下的積分我們稱為廣義積分。

這兩種情況,英文都是improper integral / improper integration

2、在積分之后代入上下限時,有可能再次取極限,這又是一種取極限的情況。

3、微積分傳入中國百多年,我們漢化了很多概念,也區(qū)分了很多概念,

如上面所說的兩類improper intrgral,英文中并無此區(qū)分。

微分、導數(shù)的區(qū)分,可微、可導的概念,去心不去心鄰域、、、、、、、

都是中文特有的概念,已經(jīng)無法再納入微積分理論。

如何證明反常積分一致收斂

定義函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的任何有限區(qū)間內(nèi)可積,如果∫(a,+∞) |f(x)|dx 存在,那么,稱之為∫(a,+∞) f(x)dx絕對收斂。

反常積分有兩種:

一種是積分的上限或者下限是無窮,另外一種是被積函數(shù)在積分區(qū)間上的某點的極限趨向于無窮大。

絕對收斂:

級數(shù)中,如果;級數(shù)ΣUn各項的絕對值所構(gòu)成的正項級數(shù)Σ∣Un∣收斂,則稱級數(shù)ΣUn絕對收斂。

無窮限積分中,若;函數(shù)f(x)在任何有限區(qū)間[a,b]上可積,且無窮限積分 ∫ 上限正無窮大下限a |f(x)| dx則稱 ∫ 上限正無窮大下限a f(x) dx 絕對收斂

無論是在;級數(shù)還是在無窮限積分中,它要么發(fā)散,要么;條件收斂,要么絕對收斂,三者必居其一。

比如f(x)=1/x 。f(x)在無窮處收斂于0,但∫ 1/x dx=ln(x)在1到正無窮是發(fā)散的。

經(jīng)濟學中的收斂,分為絕對收斂和;條件收斂。

絕對收斂(Absolute Convergence),指的是,不論條件如何,窮國比富國收斂更快。

條件收斂(Conditional Convergence),指的是技術(shù)給定,其他條件一樣的話,人均產(chǎn)出低的國家,相對于人均產(chǎn)出高的國家,有著較高的人均產(chǎn)出增長率,一個國家的經(jīng)濟在遠離均衡狀態(tài)時,比接近均衡狀態(tài)時,增長速度快。

無窮區(qū)間反常積分斂散性判斷方法

反常積分的斂散判斷本質(zhì)上是極限的存在性與無窮小或無窮大的比階問題。首先要記住兩類反常積分的收斂尺度:

對第一類無窮限;;而言,當x→+∞時,f(x)必為無窮小,并且無窮小的階次不能低于某一尺度,才能保證收斂;

對第二類無界函數(shù);;而言,當x→a+時,f(x)必為無窮大。且無窮小的階次不能高于某一尺度,才能保證收斂;這個尺度值一般等于1,注意識別反常積分。[2]

反常積分一致收斂判別方法

反常積分收斂判別口訣:積分后計算出來是定值,不是無窮大,就是收斂;積分后計算出來的不是定值,是無窮大,就是發(fā)散。

廣義積分判別法不僅比傳統(tǒng)的判別法更加精細,而且避免了傳統(tǒng)判別法需要尋找參照函數(shù)的困難。只要研究被積函數(shù)自身的性態(tài),即可知其斂散性。

反常積分特點:

第一類反常積分,稱為無窮積分,指積分區(qū)間的上限或下限為無窮的積分。第二類反常積分,稱為反常積分,指被積函數(shù)在積分區(qū)間中含有不連續(xù)點的積分。在無窮積分的推廣定義中,兩個極限須分別處理,即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假設(shè)兩個極限的收斂速度相同。

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標簽: 數(shù)學

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