函數(shù)連續(xù)是什么意思 函數(shù)的連續(xù)怎么定義

函數(shù)連續(xù)性的定義是什么？如何判定一個(gè)函數(shù)是連續(xù)的？函數(shù)連續(xù)的概念是什么？一個(gè)函數(shù)連續(xù)說明了什么？連續(xù)函數(shù)的定義是什么？什么叫函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)？

本文導(dǎo)航

• 怎么判斷函數(shù)的連續(xù)性
• 函數(shù)的連續(xù)性意味著什么
• 函數(shù)在某點(diǎn)有定義與連續(xù)的關(guān)系
• 函數(shù)的連續(xù)怎么定義
• 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的表達(dá)

怎么判斷函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)在點(diǎn)X處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，那么函數(shù)在該點(diǎn)就是連續(xù)的。如果X是定義域內(nèi)任意點(diǎn)，那函數(shù)就是連續(xù)的。

判定函數(shù)連續(xù)求導(dǎo)就可以，如果可導(dǎo)就肯定連續(xù)。

最好是那具體的題目理解一下。

函數(shù)的連續(xù)性意味著什么

為了應(yīng)用方便起見，下面把函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)的定義用不同的方式來敘述．

設(shè)

則

就是

又由于即

可見

就是

因此（1）式與相當(dāng)．所以，函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)的定義又可敘述如下：

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)

處的函數(shù)值

即那么就稱函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)．

由函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限的定義可知，上述定義也可用

”語言表達(dá)如下：

設(shè)函數(shù)

在

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)

，總存在著正數(shù)

，使得對(duì)于適合不等式

的一切

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

都滿足不等式那么就稱函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)．

函數(shù)在某點(diǎn)有定義與連續(xù)的關(guān)系

首先，有x→a,f′(x)→f′(a).

這樣的函數(shù)的曲線稱為光滑曲線，就是當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)時(shí)，該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的切線是連續(xù)變化的。例如，鐵軌就是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的曲線，當(dāng)你做火車時(shí)，假如你的座位是朝向火車前行的方向，你超前看的目光代表你這一點(diǎn)的切線，當(dāng)火車行走的時(shí)候，你的目光的方向變化是連續(xù)的。這一點(diǎn)只有鐵軌連續(xù)是做不到的，必須鐵軌函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

函數(shù)的連續(xù)怎么定義

舉例來說，考慮描述一棵樹的高度隨時(shí)間而變化的函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)是連續(xù)的（除非樹被砍斷）。

【連續(xù)性】

在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性。

另外，在數(shù)學(xué)的范疇里，二維連續(xù)函數(shù)的定義是這樣的：在某點(diǎn)x0處，取它的左極限a和右極限b，當(dāng)且僅當(dāng)a，b都存在且a=b時(shí)，我們說此函數(shù)在x0處連續(xù)

【簡(jiǎn)介】

函數(shù)y=f（x）當(dāng)自變量x的變化很小時(shí)，所引起的因變量y的變化也很小。例如，氣溫隨時(shí)間變化，只要時(shí)間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時(shí)間變化，只要時(shí)間變化足夠短，位移的變化也是很小的，對(duì)于這種現(xiàn)象，我們說因變量關(guān)于自變量是連續(xù)變化的，可用極限給出嚴(yán)格描述：設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)附近有定義，如果有l(wèi)im(x->x0) f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)f在x0點(diǎn)連續(xù)。如果定義在區(qū)間I上的函數(shù)在每一點(diǎn)x∈I都連續(xù)，則說f在I上連續(xù)，此時(shí)，它在直角坐標(biāo)系中的圖像是一條沒有斷裂的連續(xù)曲線。

【函數(shù)增量】

設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x。即：△x=x2-x1。增量△x可正可負(fù)。也就是說，改變量可以是正的，也可以是負(fù)的。

連續(xù)函數(shù)

如圖：正方形的邊長(zhǎng)X產(chǎn)生一個(gè)*X的改變量，面積Y改變了多少：

邊長(zhǎng)為X時(shí)，正方形的面積為Y等于X的二次方，如果邊長(zhǎng)為X+*X，則面積為Y+*Y等于X+*X的二次方，因此，面積的改變量為*Y等于X+*X的二次方減X的二次方，或等于2X乘以*X加上*X的二次方。

【概念】

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有 lim(x->x0) f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn)。 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果f(x)在x=b的左極限存在且等于f(b)，即： lim(x->b)- f(x)=f(b)，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù)。設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果f(x)在x=a處右極限存在且等于f(a)，即： lim(x->a) +f(x)=f(a)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)a右連續(xù)。一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)，則為在(a，b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù)。

【間斷點(diǎn)】

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有下列三種情形之一，則點(diǎn)x0為f(x)的間斷點(diǎn)：

1.在點(diǎn)x0處f(x)沒有定義，在X0為發(fā)散狀態(tài)【如圖一，tanx】；2.不存在；3.在x0無定義，趨近與x0時(shí)連續(xù)波動(dòng)【如圖三sin（1/x）】4.雖然f(x0)有定義，且存在，但不等于f(x0)。

如圖所示

【法則】

定理一 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和，

連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則

積，商(分母不為 0) 運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

定理二 連續(xù)單調(diào)遞增 （遞減）函數(shù)的反函數(shù)，也連續(xù)單調(diào)遞增 （遞減）。

定理三 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的。

【來自百度百科】

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的表達(dá)

連續(xù)就是說在某一點(diǎn)的左右極限相等且等于函數(shù)值左右端點(diǎn)處除外，只要相應(yīng)的極限等于函數(shù)值就行了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)就是指區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都滿足這種關(guān)系。

函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。

函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示，函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

擴(kuò)展資料

中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞。是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》（1859年）一書時(shí)，把“function”譯成“函數(shù)”的。

中國(guó)古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)。”中國(guó)古代用天、地、人、物4個(gè)字來表示4個(gè)不同的未知數(shù)或變量。這個(gè)定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù)。”所以“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思。我們所說的方程的確切定義是指含有未知數(shù)的等式。但是方程一詞在我國(guó)早期的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，意思指的是包含多個(gè)未知量的聯(lián)立一次方程，即所說的線性方程組 。