函數(shù)連續(xù)是什么意思 函數(shù)的連續(xù)怎么定義

崞敬2022-07-15 11:32:361526

函數(shù)連續(xù)性的定義是什么?如何判定一個(gè)函數(shù)是連續(xù)的?函數(shù)連續(xù)的概念是什么?一個(gè)函數(shù)連續(xù)說明了什么?連續(xù)函數(shù)的定義是什么?什么叫函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)?

本文導(dǎo)航

怎么判斷函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)在點(diǎn)X處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值,那么函數(shù)在該點(diǎn)就是連續(xù)的。如果X是定義域內(nèi)任意點(diǎn),那函數(shù)就是連續(xù)的。

判定函數(shù)連續(xù)求導(dǎo)就可以,如果可導(dǎo)就肯定連續(xù)。

最好是那具體的題目理解一下。

函數(shù)的連續(xù)性意味著什么

為了應(yīng)用方便起見,下面把函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)的定義用不同的方式來敘述.

設(shè)

就是

又由于即

可見

就是

因此(1)式與相當(dāng).所以,函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)的定義又可敘述如下:

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某一鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限存在,且等于它在點(diǎn)

處的函數(shù)值

即那么就稱函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù).

由函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限的定義可知,上述定義也可用

”語言表達(dá)如下:

設(shè)函數(shù)

的某一鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)

,總存在著正數(shù)

,使得對(duì)于適合不等式

的一切

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

都滿足不等式那么就稱函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù).

函數(shù)在某點(diǎn)有定義與連續(xù)的關(guān)系

首先,有x→a,f′(x)→f′(a).

這樣的函數(shù)的曲線稱為光滑曲線,就是當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)時(shí),該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的切線是連續(xù)變化的。例如,鐵軌就是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的曲線,當(dāng)你做火車時(shí),假如你的座位是朝向火車前行的方向,你超前看的目光代表你這一點(diǎn)的切線,當(dāng)火車行走的時(shí)候,你的目光的方向變化是連續(xù)的。這一點(diǎn)只有鐵軌連續(xù)是做不到的,必須鐵軌函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

函數(shù)的連續(xù)怎么定義

舉例來說,考慮描述一棵樹的高度隨時(shí)間而變化的函數(shù),那么這個(gè)函數(shù)是連續(xù)的(除非樹被砍斷)。

【連續(xù)性】

在自然界中有許多現(xiàn)象,如氣溫的變化,植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的。這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映,就是函數(shù)的連續(xù)性。

另外,在數(shù)學(xué)的范疇里,二維連續(xù)函數(shù)的定義是這樣的:在某點(diǎn)x0處,取它的左極限a和右極限b,當(dāng)且僅當(dāng)a,b都存在且a=b時(shí),我們說此函數(shù)在x0處連續(xù)

【簡(jiǎn)介】

函數(shù)y=f(x)當(dāng)自變量x的變化很小時(shí),所引起的因變量y的變化也很小。例如,氣溫隨時(shí)間變化,只要時(shí)間變化很小,氣溫的變化也是很小的;又如,自由落體的位移隨時(shí)間變化,只要時(shí)間變化足夠短,位移的變化也是很小的,對(duì)于這種現(xiàn)象,我們說因變量關(guān)于自變量是連續(xù)變化的,可用極限給出嚴(yán)格描述:設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)附近有定義,如果有l(wèi)im(x->x0) f(x)=f(x0),則稱函數(shù)f在x0點(diǎn)連續(xù)。如果定義在區(qū)間I上的函數(shù)在每一點(diǎn)x∈I都連續(xù),則說f在I上連續(xù),此時(shí),它在直角坐標(biāo)系中的圖像是一條沒有斷裂的連續(xù)曲線。

【函數(shù)增量】

設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2,終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量,記為:△x。即:△x=x2-x1。增量△x可正可負(fù)。也就是說,改變量可以是正的,也可以是負(fù)的。

連續(xù)函數(shù)

如圖:正方形的邊長(zhǎng)X產(chǎn)生一個(gè)*X的改變量,面積Y改變了多少:

邊長(zhǎng)為X時(shí),正方形的面積為Y等于X的二次方,如果邊長(zhǎng)為X+*X,則面積為Y+*Y等于X+*X的二次方,因此,面積的改變量為*Y等于X+*X的二次方減X的二次方,或等于2X乘以*X加上*X的二次方。

【概念】

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果有 lim(x->x0) f(x)=f(x0),則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù),且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn)。 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義,如果f(x)在x=b的左極限存在且等于f(b),即: lim(x->b)- f(x)=f(b),那么就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù)。設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義,如果f(x)在x=a處右極限存在且等于f(a),即: lim(x->a) +f(x)=f(a),那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)a右連續(xù)。一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù),若又在a點(diǎn)右連續(xù),b點(diǎn)左連續(xù),則在閉區(qū)間[a,b]連續(xù),如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù),則稱為連續(xù)函數(shù)。一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù),則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù),否則在此點(diǎn)不連續(xù)。

【間斷點(diǎn)】

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有下列三種情形之一,則點(diǎn)x0為f(x)的間斷點(diǎn):

1.在點(diǎn)x0處f(x)沒有定義,在X0為發(fā)散狀態(tài)【如圖一,tanx】;2.不存在;3.在x0無定義,趨近與x0時(shí)連續(xù)波動(dòng)【如圖三sin(1/x)】4.雖然f(x0)有定義,且存在,但不等于f(x0)。

如圖所示

【法則】

定理一 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,

連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則

積,商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

定理二 連續(xù)單調(diào)遞增 (遞減)函數(shù)的反函數(shù),也連續(xù)單調(diào)遞增 (遞減)。

定理三 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的。

【來自百度百科】

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的表達(dá)

連續(xù)就是說在某一點(diǎn)的左右極限相等且等于函數(shù)值左右端點(diǎn)處除外,只要相應(yīng)的極限等于函數(shù)值就行了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)就是指區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都滿足這種關(guān)系。

函數(shù)(function)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義,函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的,只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同,傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。

函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)集A,假設(shè)其中的元素為x,對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f,記作f(x),得到另一數(shù)集B,假設(shè)B中的元素為y,則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f(x)表示,函數(shù)概念含有三個(gè)要素:定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

擴(kuò)展資料

中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞。是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》(1859年)一書時(shí),把“function”譯成“函數(shù)”的。

中國(guó)古代“函”字與“含”字通用,都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是:“凡式中含天,為天之函數(shù)。”中國(guó)古代用天、地、人、物4個(gè)字來表示4個(gè)不同的未知數(shù)或變量。這個(gè)定義的含義是:“凡是公式中含有變量x,則該式子叫做x的函數(shù)。”所以“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思。我們所說的方程的確切定義是指含有未知數(shù)的等式。但是方程一詞在我國(guó)早期的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中,意思指的是包含多個(gè)未知量的聯(lián)立一次方程,即所說的線性方程組 。

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標(biāo)簽: 數(shù)學(xué)

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